¿Qué es la clasificación de los números reales?
La clasificación de los números reales es la manera en que se organiza este grupo y abarca los números naturales, los enteros, los racionales y los irracionales. Los números reales se representan con la letra R.
Los números reales se refieren a la combinación de los grupos de números racionales e irracionales. Para formar esos grupos se necesitan números naturales y números enteros.
Hay muchas maneras en las que los distintos números reales pueden ser construidos o descritos, variando desde unas formas más sencillas hasta otras más complejas, dependiendo del trabajo matemático que se quiere realizar.
Organización y clasificación de los números reales
- Números naturales. Los números naturales están representados por la letra (n) y son aquellos que se utilizan para contar (0,1,2,3,4…). Por ejemplo “hay 15 rosas en el jardín”, “La población de México es de 126 millones de personas” o “La suma de 2 y 2 es 4“. Habría que reseñar que algunas clasificaciones incluyen al 0 como número natural y otras no. Los números naturales no incluyen los que tienen decimales. Por lo tanto, “La población de México es de 126,2 millones de personas” o “Hace una temperatura de 24,5 grados centígrados” no podrían considerarse números naturales. En el lenguaje común, como en las escuelas primarias, los números naturales pueden llamarse números contables, para excluir a los enteros negativos y al cero. Los números naturales son las bases con la que muchos otros conjuntos de números pueden ser construidos por extensión: los números enteros, los racionales, los reales y los complejos, entre otros. Las propiedades de los números naturales, como la divisibilidad y la distribución de los números primarios, se estudian en la teoría de números. Los problemas relacionados con contar y ordenar, como las enumeraciones y la partición, se estudian en la combinatoria. Tienen varias propiedades, como por ejemplo: la suma, la multiplicación, la resta, la división, etc.
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- Números ordinales y cardinales. Los números naturales pueden ser ordinales o cardinales. Los cardinales serían aquellos que se utilizan como números naturales, tal y como mencionamos anteriormente en los ejemplos. “Tengo 2 galletas”, “Soy padre de 3 hijos”, “La caja incluye 2 cremas de regalo”. Los ordinales son aquellos que expresan orden o indican una posición. Por ejemplo, en una carrera, el orden de llegada de los corredores se enumera empezando por el ganador y acabando con el último que llegó a meta. De esta manera, el ganador es el “primero”, el siguiente el “segundo”, el siguiente el “tercero”, y así hasta el último. Estos números pueden representarse por una letra en su parte superior derecha para simplificar la escritura (1º, 2ª, 3ª, 4º, etc.).
- Números enteros. Los números enteros se componen de aquellos números naturales y sus opuestos, es decir, los números negativos (0, 1, -1, 2, -2, 50,-50…). Al igual que los números naturales, estos tampoco incluyen aquellos que tienen decimales. Ejemplo de números enteros serían “Hace 30° de media en Alemania”, “Me quedé a 0 al llegar a final de mes”, “Para bajar al sótano debes marcar el botón -1 del ascensor”. A su vez, los números enteros no pueden escribirse con un componente fraccional. Por ejemplo, números como 8.58 o √2 no son números enteros. Los números enteros se representan con la letra (Z). Z es un subconjunto del grupo de números racionales Q, que a su vez forman el grupo de los números reales R. Como los números naturales, Z es un grupo contable infinito. Los números enteros forman el grupo más pequeño y el conjunto más pequeño de los números naturales. En la teoría de números algebraicos, los enteros se llaman a veces enteros irracionales, para distinguirlos de los enteros algebraicos.
- Números racionales. El conjunto de números racionales se representa por la letra (Q) e incluye a todos aquellos números que pueden escribirse como una fracción de números enteros. Es decir, este conjunto incluye números naturales (4/1), números enteros (-4/1) y números decimales exactos (15,50 = 1550/100). La expansión decimal de un número racional siempre termina después de un número finito de dígitos (ej: 15,50) o cuando se comienza a repetir la misma secuencia finita de dígitos una y otra vez (ej: 0,3456666666666666…). Por ello, dentro del conjunto de números racionales se incluyen los números periódicos puros o periódicos mixtos. Adicionalmente, cualquier decimal repetido o terminal representa un número racional. Estas declaraciones son verdaderas no solo para la base 10, sino también para cualquier otra base de número entero. Un número real que no es racional se llama irracional. Los números irracionales incluyen a la √2, a π y e, por ejemplo. Ya que todo el conjunto de números racionales es numerable, y que el grupo de números reales no es numerable, se puede decir que casi todos los números reales son irracionales. Los números racionales pueden ser formalmente definidos como clases de equivalencias de pares de enteros (p,q) de manera que q ≠ 0 o la relación equivalente definida por (p1,q1) (p2,q2) solo si p1,q2 = p2q1. Los números racionales, junto con la suma y la multiplicación, forman campos que componen los números enteros y son contenidos por cualquier rama que contenga enteros.
- Números irracionales. Son todos los números reales que no son números racionales; los números irracionales no pueden ser expresados como fracciones. Los números racionales son los números compuestos de fracciones de números enteros. Como consecuencia de la prueba de Cantor, que dice que todos los números reales son no numerables y que los racionales sí son numerables, se puede concluir que casi todos los números reales son irracionales. Cuando el radio de longitud de dos segmentos de línea es un número irracional, se puede decir que estos segmentos de línea son inconmensurables; significando que no hay una longitud suficiente de manera que cada una de ellas pudiera ser “medida” con un entero particular múltiple del mismo. Entre los números irracionales están el radio π de una circunferencia de círculo a su diámetro, el número de Euler (e), el número áureo (φ) y la raíz cuadrada de 2; aún más, todas las raíces cuadradas de los números naturales son irracionales. La única excepción a esta regla son los cuadrados perfectos. Se puede observar que cuando los números irracionales son expresados de manera posicional en un sistema numeral (como por ejemplo en los números decimales) no terminan o se repiten. Esto quiere decir que no contienen una secuencia de dígitos, la repetición por la cual se hace una línea de la representación. Por ejemplo: la representación decimal del número π comienza con 3.14159265358979, pero no hay un número finito de dígitos que puedan representar a π de manera exacta, ni que se puedan repetir. La prueba de que la expansión decimal de un número racional debe terminar o repetirse es diferente a la prueba de que una extensión decimal debe ser un número racional; aunque básicas y algo largas, estas pruebas toman algo de trabajo. Usualmente los matemáticos no toman generalmente la noción de “terminando o repitiendo” para definir el concepto de un número racional. Los números irracionales también pueden ser tratados vía fracciones no continuas.
Referencias
- Classifyng real numbers. Recuperado de chilimath.com.
- Natural number. Recuperado de en.wikipedia.org.
- Clasificación de los números. Recuperado de ditutor.com.
- Irrational number. Recuperado de en.wikipedia.org.