¿Qué es el coeficiente de Poisson?
El coeficiente de Poisson es una cantidad adimensional, característica de cada material. Es un indicativo de la deformación de un trozo de material ante la aplicación de ciertos esfuerzos.
Cuando un trozo material que se somete a una tensión, o a una compresión, sufre una deformación, el cociente entre la deformación transversal y la deformación longitudinal es el coeficiente de Poisson.
Por ejemplo, un cilindro de goma que se somete a una tensión en sus extremos se estira en la dirección longitudinal, pero se estrecha transversalmente. En la imagen de arriba se muestra una barra cuyas dimensiones originales son: largo L y diámetro D.
La barra se somete a una tensión T por sus extremos, y como consecuencia de esta tensión sufre un estiramiento, de modo que el nuevo largo es L’ > L. Pero al estirarse, también ocurre un estrechamiento de su diámetro al nuevo valor: D’ < D.
El cociente entre el estiramiento (positivo) y el estrechamiento (negativo) multiplicado por (-1), es un número positivo comprendido entre 0 y 0,5. Este número es el llamado coeficiente de Poisson ν (letra griega nu).
Fórmula del coeficiente de Poisson
Para calcular el coeficiente de Poisson es necesario determinar la deformación unitaria longitudinal y transversal.
La deformación unitaria longitudinal εL es el estiramiento dividido entre el largo original:
εL = (L’ – L) / L
De igual manera, la deformación unitaria transversal εT es el estrechamiento radial dividido entre el diámetro original:
εT = (D’ – D) / D
Por lo tanto, el coeficiente de Poisson se calcula mediante la siguiente fórmula:
ν = – εT / εL
Relación con el módulo de elasticidad y el módulo de rigidez
El coeficiente de Poisson ν, se relaciona con el módulo E de elasticidad (o módulo de Young) y con el módulo de rigidez G, mediante la siguiente fórmula:
ν = E /(2G) – 1
Valor del coeficiente de Poisson para los materiales
Ejemplos de cálculo del coeficiente de Poisson
Ejemplo 1
Una barra de cierto material plástico tiene una longitud de 150 mm y sección circular de 20 mm de diámetro. Cuando se le somete a una fuerza de compresión F de 612,25 kg-f, se observa un acortamiento de 14 mm y simultáneamente un aumento de 0,85 mm en el diámetro de la barra.
Calcular:
a) La deformación unitaria longitudinal.
b) La deformación unitaria transversal.
c) El coeficiente de Poisson de ese material.
d) El módulo de elasticidad de Young correspondiente al material.
e) El módulo de rigidez para ese plástico.
Solución a
Recordemos que la deformación unitaria longitudinal εL es el estiramiento dividido entre el largo original:
εL = (L’ – L) / L
εL = (-14 mm) / 150 mm = -0,0933
Obsérvese que la deformación unitaria longitudinal es adimensional, y en este caso ha dado negativa porque hubo disminución en su dimensión longitudinal.
Solución b
Similarmente, la deformación unitaria transversal εT es el estrechamiento radial, dividido entre el diámetro original:
εT = (D’ – D) / D
εT = (+0,85 mm) / 20 mm = 0,0425
La deformación unitaria transversal ha resultado positiva porque ha habido un aumento del diámetro de la barra.
Solución c
Para el cálculo de coeficiente de Poisson debemos recordar que se define como el negativo del cociente entre la deformación transversal y la deformación longitudinal:
ν = – εT / εL
ν = – 0,0425 / (-0,0933) = 0,4554
Debe recordarse que el coeficiente de Poisson es un número adimensional positivo y para la mayoría de los materiales está comprendido entre 0 y 0,5.
Solución d
El módulo de elasticidad de Young, denotado por la letra E, es la constante de proporcionalidad en la ley de Hooke. Mediante E, se relaciona el esfuerzo normal σL con la deformación unitaria εL, del siguiente modo:
σL = E εL
Se define el esfuerzo normal como el cociente entre la fuerza normal (en este caso paralela al eje de la barra) y la sección transversal de área:
σL = F / A = F / (π/4 * D^2)
En este ejercicio, la fuerza F es de 612,25 kg-f, la cual habrá de convertirse a newtons, que es la unidad SI de fuerza:
F = 612,25 kg-f = 612,25 * 9,8 N = 6000 N = 6 kN
Por su parte, la sección transversal de área A es:
A = (π/4 * D^2) = (3,1416/4) * (20 * 10^-3 m)^2 = 3,1416 * 10^-4 m^2
Por último, el esfuerzo normal aplicado a la barra es:
σL = F / A = 6000 N / 3,1416 * 10^-4 m^2 = 19.098.593 Pa = 19,098 MPa
Para calcular el módulo de elasticidad de Young despejamos E de la ley de Hooke σL = E εL:
E = σL / εL = 19.098.593 Pa / 0,0933 = 204,7 MPa
Solución e
El módulo de rigidez G se relaciona con el módulo E de Young y con el coeficiente de Poisson ν mediante esta fórmula:
E / (2 G) = 1 + ν
De allí se puede despejar G:
G = E / (2( 1 + ν) ) = 204,7 MPa / (2( 1 + 0,4554) ) = 70,33 MPa
Ejemplo 2
Se tiene un cable de cobre de diámetro 4 mm y 1 m de largo. Sabiendo que el módulo de Young del cobre es 110000 MPa y que su coeficiente de Poisson es 0,34, estime el estiramiento y el estrechamiento en diámetro que sufre el alambre cuando se le cuelga un peso de 100 kg-f.
Solución
En primer lugar, es necesario calcular el esfuerzo de tracción normal que el peso ejerce sobre el alambre, siguiendo esta fórmula:
σL = F / A = F / (π/4 * D^2)
La fuerza F es de 980 N y la sección transversal de área es:
A = (π/4 * D^2) = (3,1416/4) * (4 * 10^-3 m)^2 = 1,2566 * 10^-5 m^2
Entonces el esfuerzo tracción es:
σL = 980 N / 1,2566 * 10^-5 m^2 = 77.986.000 Pa
Cálculo de la deformación unitaria del alambre
El módulo de elasticidad de Young, denotado por la letra E, es la constante de proporcionalidad en la ley de Hooke que relaciona el esfuerzo normal σL con la deformación unitaria εL:
σL = E εL
De allí puede despejarse la deformación unitaria longitudinal del alambre de cobre:
εL = σL / E = 77,986 MPa / 110000 MPa = 7,09 * 10^-4
Cálculo de la deformación unitaria transversal
Por otra parte, para saber la deformación unitaria transversal se aplica el coeficiente de Poisson:
ν = – εT / εL
Finalmente, se tiene que la deformación unitaria transversal es:
εT = –ν εL = – 0,34 * 7,09 * 10^-4 = -2,41 * 10 ^-4
Cálculo del estiramiento absoluto del cable
Por último, para conocer el estiramiento absoluto del cable, hay que aplicar la siguiente relación:
ΔL = εL * L = 7,09 * 10^-4 * 1 m = 7,09 * 10^-4 m = 0,709 mm
Es decir, con ese peso el cable apenas se estiró 0,709 milímetros.
Cálculo de la disminución en el diámetro
Para obtener el achicamiento absoluto en diámetro usamos la siguiente fórmula:
ΔD = εT * D = -2,41 * 10 ^-4 * 4 mm = -9,64 * 10^-4 mm = -0,000964 milímetros.
Este estrechamiento en diámetro es tan pequeño que es difícil de apreciar a simple vista, incluso su medición requiere de un instrumento de alta precisión.
Referencias
- Beer, F. Mecánica de materiales. 5ta. Edición. McGraw Hill.
- Hibbeler, R. Mecánica de materiales. Octava edición. Prentice Hall.
- Gere, J. Mecánica de materiales. Octava edición. Cengage Learning.
- Giancoli, D. Physics: Principles with Applications. 6th Ed. Prentice Hall.
- Valera Negrete, J. Apuntes de Física General. UNAM.