Notación desarrollada

¿Qué es la notación desarrollada?

La notación desarrollada es aquella en la que una cifra numérica se expresa como una suma en la que se toma en cuenta el valor posicional de cada dígito que conforma el número.

Por ejemplo, cuando se escribe una cifra como 2345, cada dígito de la misma tiene una jerarquía posicional. Leyendo del dígito extremo derecho hacia la izquierda, va creciendo la jerarquía o el valor.

En la cifra 2345, el dígito 5 representa cinco unidades, el dígito 4 representa cuatro decenas, el 3 corresponde a la tercera posición de izquierda a derecha y, por tanto, representa tres centenas; por último, el 2 representa dos millares. Es decir, en notación desarrollada o extendida, la cifra 2345 se escribe así:

2345 = 2 millares + 3 centenas + 4 decenas + 5 unidades

Pero también puede expresarse de la siguiente manera:

2345 = 2 x 1000 + 3 x 100 + 4 x 10 + 5 x 1.

También la cifra 2345 puede escribirse como la suma de potencias de 10:

2345 = 2 x 10^3 + 3 x 10^2 + 4 x 10^1 + 5 x 10^0

Donde el circunflejo ^ significa elevar al exponente indicado. Por ejemplo, 10^3 = 10 x 10 x 10 = 1000. Otra forma de escribir los exponentes es mediante un superíndice:

2345 = 2 x 10³ + 3 x 10² + 4 x 10¹ + 5 x 10⁰

Sistema de numeración posicional

El sistema de números arábigos son los números que se usan cotidianamente en la gran mayoría de países del mundo. Los números arábigos son un sistema de base 10 porque se usan diez símbolos o grafemas para escribir cualquier número. Estos diez símbolos son:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Con uno solo de estos símbolos pueden expresarse cifras comprendidas entre cero hasta nueve. Para expresar cifras mayores a nueve se emplea el sistema posicional en base diez. La cifra 10 es una decena y cero unidades. La cifra 11 es una decena y una unidad. La cifra 123 (ciento veintitrés) es una centena, dos decenas y tres unidades. Escrito en forma de potencias de diez, el número 123 será:

1×10^2 + 2×10^1 + 3×10^0

Donde:

10^2 = 10 x 10 = 100

10^1 = 10

10^0 = 1.

Con este ejemplo queda claro que la posición del dígito en el extremo derecho es la posición 0 y representa el número de unidades; la del segundo dígito de derecha a izquierda es la posición 1 y representa el número de decenas, el tercer dígito (de derecha a izquierda) tiene posición 2 y representa los cientos.

Números fraccionarios o decimales

Con el sistema posicional decimal también es posible representar números o cifras menores que la unidad o mayores que la unidad pero no enteras, es decir, que poseen fracciones de la unidad.

Para representar en el sistema decimal arábigo la fracción ½, es decir, la mitad de la unidad, se escribe:

½ = 0,5

Para llegar a esta expresión en nuestro sistema en base 10, implícitamente se han hecho las siguientes operaciones:

1. Se multiplica el numerador y el denominador por 5 para tener la fracción equivalente 5/10 = 1/2. 

2. Dividir entre 10 es equivalente a multiplicar por la potencia en base diez con exponente menos uno (10^-1), es decir, 5/10 = 5 × 10^-1.

3. El exponente negativo indica cuántas veces se corre o posiciona hacia la derecha el dígito indicado a partir de la posición de la unidad; en nuestro caso sería 0,5.

4. ½ = 0,5; en notación extendida se escribe así:

0,5 = 0x10^0 + 5×10^-1

Donde 10^-1 = 0,1 es una décima (la fracción correspondiente a la unidad dividida en 10 partes iguales).

De esta forma, el número 0,5 corresponde a cinco décimas, pero el número 0,05 corresponde a 5 centésimas y el 0,005 a 5 milésimas.

Ejemplos de notación desarrollada 

Ejemplo 1

Dada la cifra 40201 en notación estándar, convertirla a la notación desarrollada.

Solución: 

4×10000 + 0x1000 + 2×100 + 0x10 + 1×1 = 40201

Ejemplo 2

Escribir la fracción ¾ en notación extendida.

Solución: 

En este caso se tienen tres cuartas partes de la unidad. 

3/4 = 15/20 = 75/100 = 0,75 = 7/10 + 5/100 = 

7×10^-1 + 5×10^-2.

Dicho en palabras quedaría así:

La fracción ¾ corresponde a siete décimas más cinco centésimas.

Ejercicios resueltos de notación desarrollada

Ejercicio 1

Decir en palabras la expresión desarrollada de la cifra 40201 del ejemplo 1.

Solución:

La notación desarrollada queda así:

40201 = 4×10000 + 0x1000 + 2×100 + 0x10 + 1×1 

Que en palabras se dice:

Cuatro decenas de miles, más cero millares, más dos centenas, más cero decenas, más una unidad.

Ejercicio 2

Expresar en palabras la cifra anterior y desglosar en forma desarrollada la frase correspondiente.

Solución:

La cifra 40201 en palabras se expresa así:

Cuarenta mil doscientos Uno

La frase anterior puede desarrollarse como:

40×1000 + 2×100 + 1

Puede decirse que la forma de pronunciar las cifras es una forma semidesarrollada de expresarla.

Ejercicio 3

Escribir en forma desarrollada el número 7/3.

Solución:

Se trata de una cifra expresada como una fracción impropia, ya que, como el numerador es mayor que el denominador, la cifra es mayor que la unidad.

Esta fracción impropia puede descomponerse como la suma de las fracciones 6/3 + 1/3. La primera de las fracciones da como resultado un número entero 2, mientras que 1/3 = 0,333333, donde el dígito 3 se repite indefinidamente. De modo que la expresión decimal desarrollada de la cifra 7/3 siempre será una expresión aproximada:

7/3 = 2 + 1/3 ≃ 2 + 0,333 = 2 + 3×10^-1 + 3×10^-2 + 3×10^-3.

Ejercicio 4

Escribir en notación estándar y luego en forma desarrollada el número: Veintitrés millardos doscientos cincuenta millones quinientos veintiséis mil trescientos veinticinco con tres veintitrés milésimas.

Solución:

Cabe recordar que un millardo es el equivalente a mil millones. La palabra millardo fue aceptada por la Real Academia Española en 1995 a petición del fallecido presidente venezolano Rafael Caldera, miembro de la Academia Venezolana de la Lengua. En ese caso, la cifra del ejercicio en notación estándar se escribe así:

23.2501526.325,023

23 millardos + 250 millones + 526 miles + 325 unidades + 23 milésimas. 

23×10^9 + 250×10^6 + 526×10^3 + 325×10^0 + 23×10^-3

Finalmente, se escribe la cifra en notación desarrollada:

2×10^10 + 3×10^9 +2×10^8 + 5×10^7 + 0x10^6 + 5×10^5 + 2×10^4 + 6×10^3 + 3×10^2 + 2×10^1 + 5×10^0 + 0x10^-1 + 2×10^-2 + 3×10^-3.

Referencias

1. Tablas de valor posicional. Recuperado de es.khanacademy.org.
2. Escribir un número en forma desarrollada (video). Recuperado de es.khanacademy.org.
3. Ifrah, G. Historia universal de las cifras. Espasa Calpe S.A.
4. Notación posicional. Recuperado de es.wikipedia.com.
5. Millardo. Recuperado de es.wikipedia.com.