¿Qué son los números naturales?
Los números naturales son los que sirven para contar el número de elementos de un determinado conjunto. Por ejemplo, cuántas manzanas hay en una caja. También se usan para ordenar los elementos de un conjunto, como los niños del primer grado por orden de tamaño.
En el primer caso se habla de números cardinales y en el segundo de números ordinales, de hecho, “primero” y “segundo” son números naturales ordinales. Por el contrario, uno (1), dos (2) y tres (3) son números naturales cardinales.
Además de servir para contar y ordenar, los números naturales se usan también como una forma de identificación y diferenciación de los elementos de un determinado conjunto.
Por ejemplo, el carnet de identidad tiene un número único, asignado a cada persona que pertenece a un determinado país.
En la notación matemática el conjunto de los números naturales se denota así:
ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, ………}
Y el conjunto de los números naturales con el cero se denota de esta otra forma:
ℕ+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ………}
En ambos conjuntos, los puntos suspensivos indican que los elementos siguen consecutivamente hasta el infinito, siendo la palabra infinito la forma de decir que el conjunto no tiene fin.
No importa lo grande que pueda ser un número natural, siempre se puede conseguir el siguiente mayor.
Historia de los números naturales
Antes de que aparecieran los números naturales, es decir, el conjunto de símbolos y nombres para denotar determinada cantidad, los primeros humanos usaban otro conjunto de comparación, como los dedos de las manos.
Entonces, para decir que se encontraron con una manada de cinco mamuts, se valían de los dedos de una mano para simbolizar dicha cantidad.
Este sistema podía variar de un grupo humano a otro, quizás otros usaban en vez de los dedos un grupo de palitos, piedras, cuentas de collar o nudos en una cuerda. Pero lo más seguro es que emplearan los dedos.
Luego comenzaron a aparecer símbolos para representar una cierta cantidad. Al comienzo eran marcas sobre un hueso o un palito.
Se conocen grabados cuneiformes en tableros de arcilla, que representan símbolos numéricos y que datan del 400 a.C., hallados en Mesopotamia, la actual Irak.
Los símbolos fueron evolucionando: así, los griegos y más tarde los romanos, usaron letras para denotar los números.
Números arábigos
Los números arábigos son el sistema que usamos en la actualidad y fueron llevados a Europa por los árabes que ocuparon la península ibérica, pero realmente fueron inventados en la India, por lo que se les conoce como sistema de numeración indo-arábigo.
Nuestro sistema de numeración se basa en e diez, porque son diez los dedos de las manos.
Tenemos diez símbolos para expresar cualquier cantidad numérica, un símbolo por cada dedo de la mano.
Estos símbolos son:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9
Con estos símbolos es posible representar cualquier cantidad usando el sistema posicional: 10 es una decena cero unidades, 13 es una decena y tres unidades, 22 dos decenas dos unidades.
Hay que dejar claro que más allá de los símbolos y el sistema de numeración, los números naturales siempre han existido y siempre, de una u otra manera, fueron usados por los humanos.
Propiedades de los números naturales
El conjunto de los números naturales es:
ℕ+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ………}
Y con ellos se puede contar la cantidad de elementos de otro conjunto o también ordenar dichos elementos, si a cada cual se le asigna un número natural.
- Es infinito y numerable. El conjunto de los números naturales es un conjunto ordenado que tiene infinitos elementos. Sin embargo, es un conjunto numerable en el sentido de que se puede saber cuántos elementos o números naturales hay entre un número y otro. Por ejemplo, sabemos que entre 5 y 9 hay cinco elementos, incluyendo al 5 y al 9.
- Es un conjunto ordenado. Al ser un conjunto ordenado, se puede saber cuáles números están después o antes de un número dado. De esta forma es posible establecer, entre dos elementos del conjunto de los naturales, relaciones de comparación como estas: 7 > 3 significa que siete es mayor que tres. 2 < 11 se lee dos es menor que once.
- Se pueden agrupar (operación de suma). 3 + 2 = 5 significa que si se juntan tres elementos con dos elementos se tienen cinco elementos. El símbolo + denota la operación de suma.
Operaciones con números naturales
Suma
1. La suma es una operación interna, en el sentido de que si se suman dos elementos del conjunto ℕ de los números naturales, se obtendrá otro elemento que pertenece a dicho conjunto. Simbólicamente se diría así:
Si a∊ ℕ y b∊ ℕ, entonces a + b ∊ ℕ
2. La operación suma sobre los naturales es conmutativa, lo que significa que el resultado es el mismo aunque se inviertan los sumandos. Simbólicamente se expresa así:
Si a ∊ ℕ y b ∊ ℕ, entonces a + b = b + a = c donde c ∊ ℕ
Por ejemplo, 3 + 5 = 8 y 5 + 3 = 8, siendo 8 un elemento de los números naturales.
3. La suma de números naturales cumple la propiedad asociativa:
a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c
Un ejemplo lo dejará más claro. Podemos sumar así:
3 + 6 + 8 = 3 + (6 + 8) = 3 + 14 = 17
Y de esta forma también:
3 + 6 + 8 = (3 + 6) + 8 = 9 + 8 = 17
Por último, si se suma de esta manera también se llega al mismo resultado:
3 + 6 + 8 = (3 + 8) + 6 = 11 + 6 = 17
4. Existe el elemento neutro de la suma y dicho elemento es el cero: a + 0 = 0 + a = a. Por ejemplo:
7 + 0 = 0 + 7 = 7.
Resta
-El operador de la resta se denota mediante el símbolo -. Por ejemplo:
5 – 3 = 2.
Es importante que el primer operando sea mayor o igual (≥) que el segundo operando, porque de lo contrario la operación resta no estaría definida en los naturales:
a – b = c, donde c ∊ ℕ si y solo si a ≥ b.
Multiplicación
-La multiplicación se denota por a ⋅ b y significa sumar a consigo mismo b veces. Por ejemplo: 6 ⋅ 4 = 6 + 6 + 6 + 6 = 24.
División
La división se denota por: a ÷ b y significa cuántas veces está b en a. Por ejemplo, 6 ÷ 2 = 3, porque 2 está contenido en 6 tres veces (3).
Ejemplos de números naturales
Ejemplo 1
En una caja se cuentan 15 manzanas, mientras que en otra se cuentan 22. Si se colocan todas las manzanas de la segunda caja en la primera, ¿cuántas manzanas habrá en la primera caja?
Respuesta
15 + 22 = 37 manzanas.
Ejemplo 2
Si en la caja de 37 manzanas se extraen 5, ¿cuántas quedarán en la caja?
Respuesta
37 – 5 = 32 manzanas.
Ejemplo 3
Si se tienen 5 cajas con 32 manzanas cada una, ¿cuántas manzanas habrá en total?
Respuesta
La operación sería sumar 32 consigo mismo 5 veces, lo que se denota así:
32 ⋅ 5 = 32 + 32 + 32 + 32 + 32 = 160
Ejemplo 4
Se quiere dividir una caja de 32 manzanas en 4 partes. ¿Cuántas manzanas contendrá cada parte?
Respuesta
La operación es una división que se denota así:
32 ÷ 4 = 8
Es decir, se tienen cuatro grupos de ocho manzanas cada uno.
Referencias
- Conjunto de los números naturales para quinto grado de primaria. Recuperado de actividadeseducativas.net.
- Matemáticas para niños. Números naturales. Recuperado de elhuevodechocolate.com.
- Números naturales. Recuperado de superprof.es.
- Los números naturales. Recuperado de unprofesor.com.
- Número natural. Recuperado de es.wikipedia.org.