¿Qué es la teoría de conjuntos?
La teoría de conjuntos es una rama de la matemática que estudia las relaciones entre entidades denominadas conjuntos. Los conjuntos son colecciones de objetos de una misma naturaleza. Dichos objetos son los elementos del conjunto y pueden ser números, letras, figuras geométricas, palabras que representan objetos, los objetos mismos y otros.
Georg Cantor, hacia finales del siglo XIX, propuso la teoría de conjuntos, y otros notables matemáticos en el siglo XX hicieron su formalización: Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Bertrand Russell, Adolf Fraenkel, entre otros.
Los diagramas de Venn son la forma gráfica de representar a un conjunto, y consiste en una figura plana cerrada dentro de la cual están los elementos del conjunto.
Por ejemplo, en la figura superior se muestran dos conjuntos A y B, que tienen elementos en común, los elementos comunes a A y a B. Estos forman un nuevo conjunto, llamado conjunto intersección de A y B, que se escribe en forma simbólica de la siguiente manera:
A ∩ B
Características de la teoría de conjuntos
– Objeto de estudio. El concepto central es el conjunto, entendido como una agrupación bien definida de elementos (números, letras, objetos, etc.). Los objetos que forman parte de un conjunto se llaman elementos o miembros.
– Definición precisa. Un conjunto está bien definido: se puede determinar sin ambigüedades si un elemento pertenece o no a él. Se denota con llaves, por ejemplo: A={1,2,3,4}A = \{1,2,3,4\}.
– Formas de representación. Por extensión: listando sus elementos. Por comprensión: describiendo una propiedad que cumplen todos sus elementos (ej. B={x∈N ∣ x<5}B = \{x \in \mathbb{N} \,|\, x < 5\}).
– Tipos de conjuntos. Vacío (∅\varnothing): no contiene elementos. Unitario: tiene un solo elemento. Finito o infinito. Universales, propios, disjuntos, etc.
– Operaciones básicas
- Unión (∪\cup): todos los elementos de dos conjuntos.
- Intersección (∩\cap): elementos comunes.
- Diferencia (−-): elementos de un conjunto que no están en otro.
- Complemento: elementos que no pertenecen al conjunto respecto al universal.
– Relaciones y subconjuntos. Se estudian relaciones como inclusión (⊂\subset), pertenencia (∈\in) y equivalencia. Todo conjunto puede contener subconjuntos.
– Importancia. Es la base de la matemática moderna (números, funciones, relaciones y estructuras se definen con conjuntos). Permite la formalización rigurosa de conceptos y el desarrollo de la lógica matemática.
Tipos de conjuntos en la teoría de conjuntos
Conjunto finito
Es un conjunto en el que sus elementos son numerables. Ejemplos de conjuntos finitos son las letras del abecedario, las vocales, los planetas del sistema solar, entre otros. Al número de elementos de un conjunto finito se le llama cardinalidad.
Conjunto infinito
Se entiende por conjunto infinito un conjunto donde el número de sus elementos es incontable, ya que sin importar lo grande que pueda ser el número de sus elementos, siempre es posible encontrar más elementos.
Un ejemplo de conjunto infinito es el conjunto de los números naturales N, el cual en forma extensiva se expresa de la siguiente manera:
N = { 1, 2, 3, 4, 5, ….} es claramente un conjunto infinito, ya que no importa lo grande que pueda ser un número natural, siempre puede encontrarse el siguiente mayor, en un proceso sin fin. Claramente la cardinalidad de un conjunto infinito es ∞.
Conjunto vacío
Es el conjunto que no contiene elemento alguno. El conjunto vacío V se denota por Ø o mediante una par de llaves sin elementos en su interior:
V = { } = Ø.
El conjunto vacío es único, por lo tanto debe es incorrecto decir “un conjunto vacío”, la forma correcta es decir “el conjunto vacío”.
Entre las propiedades del conjunto vacío se tiene que el mismo es subconjunto de cualquier conjunto:
Ø ⊂ A
Además, si un conjunto es subconjunto del conjunto vacío, entonces necesariamente dicho conjunto será el vacío:
A ⊂ Ø ⇔ A = Ø
Conjunto unitario
Se llama conjunto unitario todo conjunto que contenga un solo elemento. Por ejemplo, el conjunto de los satélites naturales de la Tierra es un conjunto unitario, cuyo único elemento es la Luna. El conjunto B de los números enteros menores que 2 y mayores que cero solo tiene el elemento 1, por lo tanto, es un conjunto unitario.
Conjunto binario
Un conjunto es binario si solo posee dos elementos. Por ejemplo, el conjunto X, tal que x sea un número real solución de x^2 = 2. Este conjunto por extensión se escribe así:
X = { -√2, +√2 }
Conjunto universal
El conjunto universal contiene otros conjuntos del mismo tipo o naturaleza. Por ejemplo, el conjunto universal de los números naturales es el conjunto de los números reales. Pero los números reales es conjunto universal también de los números enteros y de los números racionales.
Elementos básicos de la teoría de conjuntos
Relaciones entre conjuntos
En los conjuntos se pueden establecer varios tipos de relación entre ellos y sus elementos. Si dos conjuntos A y B tienen exactamente los mismos elementos, se establece una relación de igualdad que se denota así:
A = B
Si todos los elementos de un conjunto A pertenecen a un conjunto B, pero no todos los elementos de B pertenecen a A, entonces entre estos conjuntos hay una relación de inclusión, que se denota así:
A ⊂ B, pero B ⊄ A
La expresión anterior se lee: A es subconjunto de B, pero B no es subconjunto de A.
Para indicar que algún o algunos elementos pertenecen a un conjunto se usa el símbolo de pertenencia ∈, por ejemplo, para decir que x elemento o elementos pertenecen al conjunto A se escribe simbólicamente así:
x ∈ A
Sí un elemento y no pertenece al conjunto A dicha relación se escribe así:
y ∉ A
La relación de pertenencia se da entre los elementos de un conjunto y el conjunto, con la única excepción del conjunto potencia, siendo el conjunto potencia la colección o conjunto de todos los conjuntos posibles que pueden formarse con los elementos de dicho conjunto.
Suponga V = { a,e,i } , su conjunto potencia es P(V) ={ {a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a,e,i} }, en ese caso el conjunto V pasa a ser un elemento del conjunto P(V) y puede escribirse:
V ∈ P(V)
Propiedades de la inclusión
La primera propiedad de la inclusión establece que todo conjunto está contenido en sí mismo, o, dicho de otra forma, que es subconjunto de sí mismo:
A ⊂ A
La otra propiedad de la inclusión es la transitividad: si A es subconjunto de B y B a su vez es subconjunto de C, entonces A es subconjunto de C. En forma simbólica, la relación de transitividad se escribe así:
(A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C
A continuación se muestra el diagrama de Venn correspondiente a la transitividad de la inclusión:
Operaciones entre conjuntos
Intersección
La intersección es una operación entre dos conjuntos que da lugar a un nuevo conjunto perteneciente al mismo conjunto universal de los dos primeros. En ese sentido, es una operación cerrada.
Simbólicamente la operación de intersección se formula así:
A⋂B = { x / x∈A ^ x∈B }
Ejemplo: el conjunto A de las letras de la palabra “elementos” y el conjunto B de las letras de la palabra “repetidos”, la intersección entre A y B se escribe así:
A⋂B = { e, l, m, n, t, s } ⋂ { r, e, p, t, i, d, o, s } = { e, t, s } . El conjunto universal U de A, de B y también de A⋂B es el conjunto de las letras del alfabeto español.
Unión
La unión de dos conjuntos es el conjunto formado por los elementos comunes a los dos conjuntos y los elementos no comunes de los dos conjuntos. La operación de unión entre conjuntos se expresa simbólicamente así:
A∪B = { x/ x∈A v x∈B }
Diferencia
La operación de diferencia del conjunto A menos el conjunto B se denota por A-B. A-B es un nuevo conjunto formado por todos los elementos que están en A y que no pertenezcan a B. Simbólicamente se escribe así:
A – B = { x/ x ∈ A ^ x ∉ B }
Diferencia simétrica
La diferencia simétrica es una operación entre dos conjuntos donde el conjunto resultante está conformado por los elementos no comunes a los dos conjuntos. La diferencia simétrica simbólicamente se representa así:
A⊕B = { x/ x∈(A-B) ^ x∈(B-A) }
Ejemplos de la teoría de conjuntos
Ejemplo 1
El diagrama de Venn es una forma gráfica de representar los conjuntos. Por ejemplo, el conjunto C de las letras de la palabra conjunto se representa así:
Ejemplo 2
A continuación, se muestra mediante diagramas de Venn que el conjunto de las vocales en la palabra “conjunto”, es un subconjunto del conjunto de las letras de la palabra “conjunto”.
Ejemplo 3
El conjunto Ñ de las letras del abecedario es un conjunto finito, este conjunto por extensión se escribe así:
Ñ = { a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z } y su cardinalidad es 27.
Ejemplo 4
El conjunto V de las vocales en español es un subconjunto del conjunto Ñ:
V ⊂ Ñ por lo tanto es un conjunto finito.
El conjunto finito V en forma extensiva se escribe así: V = { a, e, i, o, u } y su cardinalidad es 5.
Ejemplo 5
Dados los conjuntos A = { 2, 4, 6, 8 } y B = { 1, 2, 4, 7, 9 } determine A-B y B-A.
A – B son los elementos de A que no están en B:
A – B = { 6, 8 }
B – A son los elementos de B que no están en A:
B – A = { 1, 7, 9 }
Ejercicios resueltos
Ejercicio 1
Escribir en forma simbólica y también por extensión el conjunto P de los números naturales pares menores que 10.
Solución: P = { x∈ N / x < 10 ^ x mod 2 = 0 }
P = { 2, 4, 6, 8 }
Ejercicio 2
Suponga el conjunto A aquel formado por los números naturales que son factores de 210, y el conjunto B aquel formado por los números naturales primos menores que 9. Determine por extensión ambos conjuntos y establezca qué relación hay entre los dos conjuntos.
Solución: Para determinar los elementos del conjunto A se debe comenzar por encontrar los factores del número natural 210:
210 = 2 * 3 * 5 * 7
Entonces el conjunto A se escribe:
A = { 2, 3, 5, 7 }
Pasamos a considerar el conjunto B, el cual es los primos menores que 9. El 1 no es primo porque no cumple la definición de primo: “un número es primo si y solo si tiene exactamente dos divisores, el 1 y el propio número”. El 2 es par y a la vez es primo porque cumple la definición de primo, los otros primos menores que 9 son 3, 5 y 7. De modo que el conjunto B es:
B = { 2, 3, 5, 7 }
Por lo tanto, los dos conjuntos son iguales: A = B.
Ejercicio 3
Determine el conjunto cuyos elementos x son diferentes de x.
Solución: C = { x / x ≠ x }
Como todo elemento, número u objeto es igual a sí mismo, el conjunto C no puede ser otro más que el conjunto vacío:
C = Ø
Ejercicio 4
Sea el conjunto de los N de los números naturales y Z el conjunto de los números enteros. Determine N ⋂ Z y N ∪ Z.
Solución:
N ⋂ Z = { x ∈ Z / x ≤ 0 } = (-∞, 0]
N ∪ Z = Z debido a que N ⊂ Z.
Referencias
- Garo, M. Mathematics: quadratic equations: How solve a quadratic equation.
- Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. Matemáticas 1 SEP. Umbral.
- Preciado, C.T. Curso de Matemáticas 3o. Editorial Progreso.
- Ejemplos de Conjuntos Finitos. Recuperado de matematicas10.net.
- Teoría de conjuntos. Recuperado de es.wikipedia.org.