¿Qué es la propiedad modulativa?
La propiedad modulativa es la que permite efectuar operaciones con los números sin alterar el resultado de la igualdad. Esto es particularmente útil más adelante en el álgebra, ya que multiplicar o sumar por factores que no alteran el resultado, permite la simplificación de algunas ecuaciones.
Para la suma y la resta, sumar cero no altera el resultado. En el caso de la multiplicación y división, multiplicar o dividir por uno tampoco altera el resultado. Por ejemplo, sumar 5 a 0 sigue siendo 5. Multiplicar 1.000 por 1 sigue siendo 1.000.
Los factores cero para la suma y uno para la multiplicación son modulares para dichas operaciones. Las operaciones aritméticas poseen varias propiedades, además de la propiedad modulativa, las cuales contribuyen a la solución de problemas matemáticos.
Operaciones aritméticas y la propiedad modulativa
Las operaciones aritméticas son suma, resta, multiplicación y división. Vamos a trabajar con el conjunto de los números naturales.
Suma
La propiedad llamada elemento neutro nos permite adicionar un sumando sin alterar el resultado. Esto nos dice que el cero es el elemento neutro de la suma.
Como tal, se dice que es el módulo de la suma y de ahí el nombre de propiedad modulativa.
Por ejemplo:
(3+5)+9+4+0 = 21
4+5+9+3+0 = 21
2+3+0 = 5
1000+8+0 = 1008
500+0 = 500
233+1+0 = 234
25000+0 = 25000
1623+2+0 = 1625
400+0 = 400
869+3+1+0 = 873
78+0 = 78
542+0 = 542
36750+0 = 36750
789+0 = 789
560+3+0 = 563
1500000+0 = 1500000
7500+0 = 7500
658+0 = 658
345+0 = 345
13562000+0 = 13562000
500000+0 = 500000
322+0 = 322
14600+0 = 14600
900000+0 = 900000
La propiedad modulativa también se cumple para los números enteros:
(-3)+4+(-5) = (-3)+4+(-5)+0
(-33)+(-1) = (-33)+(-1)+0
-1+35 = -1+35+0
260000+(-12) = 260000+(-12)+0
(-500)+32+(-1) = (-500)+32+(-1)+0
1750000+(-250) = 1750000+(-250)+0
350000+(-580)+(-2) = 350000+(-580)+(-2)+0
(-78)+(-56809) = (-78)+(-56809)+0
8+5+(-58) = 8+5+(-58)+0
689+854+(-78900) = 689+854+(-78900)+0
1+2+(-6)+7= 1+2+(-6)+7+0
Y, de igual forma, para los números racionales:
2/5+3/4 = 2/5+3/4+0
5/8+4/7 = 5/8+4/7+0
½+1/4+2/5 = ½+1/4+2/5+0
1/3+1/2 = 1/3+1/2+0
7/8+1 = 7/8+1+0
3/8+5/8 = 3/8+5/8+0
7/9+2/5+1/2 = 7/9+2/5+1/2+0
3/7+12/133 = 3/7+12/133+0
6/8+2+3 = 6/8+2+3+0
233/135+85/9 = 233/135+85/9+0
9/8+1/3+7/2 = 9/8+1/3+9/8+0
1236/122+45/89 = 1236/122+45/89+0
24362/745+12000 = 24635/745+12000+0
También para los irracionales:
e+√2 = e+√2+0
√78+1 = √78+1+0
√9+√7+√3 = √9+√7+√3+0
√7120+e = √7120+e+0
√6+√200 = √6+√200+0
√56+1/4 = √56+1/4+0
√8+√35+√7 = √8+√35+√7+0
√742+√3+800 = √742+√3+800+0
V18/4+√7/6 = √18/4+√7/6+0
√3200+√3+√8+√35 = √3200+√3+√8+√35+0
√12+e+√5 = √12+e+√5+0
√30/12+e/2 = √30/12+e/2
√2500+√365000 = √2500+√365000+0
√170+√13+e+√79 = √170+√13+e+√79+0
Y así mismo para todos los reales.
2,15+3 = 2,15+3+0
144,12+19+√3 = 144,12+19+√3+0
788500+13,52+18,70+1/4 = 788500+13,52+18,70+1/4+0
3,14+200+1 = 3,14+200+1+0
2,4+1,2+300 = 2,4+1,2+300+0
√35+1/4 = √35+1/4+0
e+1 = e+1+0
7,32+12+1/2 = 7,32+12+1/2+0
200+500+25,12 = 200+500+25,12+0
1000000+540,32+1/3 = 1000000+540,32+1/3 +0
400+325,48+1,5 = 400+325+1,5+0
1200+3,5 = 1200+3,5+0
Resta
Aplicando la propiedad modulativa, al igual que en la suma, el cero no altera el resultado de la resta:
4-3 = 4-3-0
8-0-5 = 8-5-0
800-1 = 800-1-0
1500-250-9 = 1500-250-9-0
Se cumple para los enteros:
-4-7 = -4-7-0
78-1 = 78-1-0
4500000-650000 = 4500000-650000-0
-45-60-6 = -45-60-6-0
-760-500 = -760-500-0
4750-877 = 4750-877-0
-356-200-4 = 356-200-4-0
45-40 = 45-40-0
58-879 = 58-879-0
360-60 = 360-60-0
1250000-1 = 1250000-1-0
3-2-98 = 3-2-98-0
10000-1000 = 10000-1000-0
745-232 = 745-232-0
3800-850-47 = 3800-850-47-0
Para los racionales:
3/4-2/4 = 3/4-2/4-0
120/89-1/2 = 120/89-1/2-0
1/32-1/7-1/2 = 1/32-1/7-1/2-0
20/87-5/8 = 20/87-5/8-0
132/36-1/4-1/8 = 132/36-1/4-1/8
2/3-5/8 = 2/3-5/8-0
1/56-1/7-1/3 = 1/56-1/7-1/3-0
25/8-45/89 = 25/8-45/89-0
3/4-5/8-6/74 = 3/4-5/8-6/74-0
5/8-1/8-2/3 = 5/8-1/8-2/3-0
1/120-1/200 = 1/120-1/200-0
1/5000-9/600-1/2 = 1/5000-9/600-1/2-0
3/7-3/4 = 3/7-3/4-0
También para los irracionales:
Π-1 = Π-1-0
e-√2 = e-√2-0
√3-1 = √-1-0
√250-√9-√3 = √250-√9-√3-0
√85-√32 = √85-√32-0
√5-√92-√2500 = √5-√92-√2500
√180-12 = √180-12-0
√2-√3-√5-√120 = √2-√3-√5-120
15-√7-√32 = 15-√7-√32-0
V2/√5-√2-1 = √2/√5-√2-1-0
√18-3-√8-√52 = √18-3-√8-√52-0
√7-√12-√5 = √7-√12-√5-0
√5-e/2 = √5-e/2-0
√15-1 = √15-1-0
√2-√14-e = √2-√14-e-0
Y, en general, para los reales:
π –e = π-e-0
-12-1,5 = -12-1,5-0
100000-1/3-14,50 = 100000-1/3-14,50-0
300-25-1,3 = 300-25-1,3-0
4,5-2 = 4,5-2-0
-145-20 = -145-20-0
3,16-10-12 = 3,16-10-12-0
π-3 = π-3-0
π/2-π/4 = π/2-π/4-0
325,19-80 = 329,19-80-0
-54,32-10-78 = -54,32-10-78-0
-10000-120 = -10000-120-0
-58,4-6,52-1 = -58,4-6,52-1-0
-312,14-√2 = -312,14-√2-0
Multiplicación
Esta operación matemática también tiene su elemento neutro o propiedad modulativa:
3x7x1 = 3×7
(5×4)x3 = (5×4)x3x1
El elemento neutro es el número 1, ya que no altera el resultado de la multiplicación.
Esto se cumple también para los enteros:
2×3 = -2x3x1
14000×2 = 14000x2x1
256x12x33 = 256x14x33x1
1450x4x65 = 1450x4x65x1
12×3 = 12x3x1
500×2 = 500x2x1
652x65x32 = 652x65x32x1
100x2x32 = 100x2x32x1
10000×2 = 10000x2x1
4x5x3200 = 4x5x3200x1
50000x3x14 = 50000x3x14x1
25×2 = 25x2x1
250×36 = 250x36x1
1500000×2 = 1500000x2x1
478×5 = 478x5x1
Para los racionales:
(2/3) x1 = 2/3
(1/4) x (2/3) = (1/4) x (2/3) x1
(3/8) x (5/8) = (3/8) x (5/8) x1
(12/89) x (1/2) = (12/89) x (1/2) x1
(3/8) x (7/8) x (6/7) = (3/8) x (7/8) x (6/7) x 1
(1/2) x (5/8) = (1/2) x (5/8) x 1
1 x (15/8) = 15 /8
(4/96) x (1/5) x (1/7) = (4/96) x (1/5) x (1/7) x1
(1/8) x (1/79) = (1/8) x (1/79) x 1
(200/560) x (2/3) = (200/560) x 1
(9/8) x (5/6) = (9/8) x (5/6) x 1
Para los irracionales:
e x 1 = e
√2 x √6 = √2 x √6 x 1
√500 x 1 = √500
√12 x √32 x √3 = √12 x √32 x √3 x 1
√8 x 1/2 = √8 x 1/2 x 1
√320 x √5 x √9 x √23 = √320 x √5 √9 x √23 x 1
√2 x 5/8 = √2 x 5/8 x 1
√32 x √5/2 = √32 + √5/2 x 1
e x √2 = e x √2 x 1
(π/2) x (3/4) = (π/2) x (34) x 1
π x √3 = π x √3 x 1
Y finalmente para los reales:
2,718 x 1= 2,718
-325 x (-2) = -325 x (-2) x 1
10000 x (25,21) = 10000 x (25,21) x 1
-2012 x (-45,52) = -2012 x (-45,52) x 1
-13,50 x (-π/2) = 13,50 x (-π/2) x 1
-π x √250 = -π x √250 x 1
-√250 x (1/3) x (190) = -√250 x (1/3) x (190) x 1
-(√3/2) x (√7) = -(√3/2) x (√7) x 1
-12,50 x (400,53) = 12,50 x (400,53) x 1
1 x (-5638,12) = -5638,12
210,69 x 15,10 = 210,69 x 15,10 x 1
División
El elemento neutro de la división es, al igual que en la multiplicación, el número 1. Una cantidad dada dividida entre 1 dará el mismo resultado:
34 ÷ 1 = 34
7 ÷ 1 = 7
200000 ÷ 1 = 200000
o lo que es lo mismo:
200000/1 = 200000
Esto se cumple para cada entero:
8/1 = 8
250/1 = 250
1000000/1 = 1000000
36/1 = 36
50000/1 = 50000
1/1 = 1
360/1 = 360
24/1 = 24
2500000/1 = 250000
365/1 = 365
Y también para cada racional:
(3/4) ÷ 1 = 3/4
(3/8) ÷ 1 = 3/8
(1/2) ÷ 1 = 1/2
(47/12) ÷ 1 = 47/12
(5/4) ÷ 1 = 5/4
(700/12) ÷ 1 = 700/12
(1/4) ÷ 1 = 1/4
(7/8) ÷ 1 = 7/8
Para cada número irracional:
π/1 = π
(π/2) / 1 = π/2
(√3/2) / 1 = √3/2
√120/1 = √120
√8500 / 1 = √8500
√12 / 1 = √12
(π/4) / 1 = π/4
Y, en general, para todo número real:
3,14159/1 = 3,14159
-18/1 = -18
16,32 ÷ 1 = 16,32
-185000,23 ÷ 1 = -185000,23
-10000,40 ÷ 1 = -10000,40
156,30 ÷ 1 = 156,30
900000, 10 ÷ 1 = 900000,10
1,325 ÷ 1 = 1,325
Aplicaciones de la propiedad modulativa
La propiedad modulativa es esencial en las operaciones algebraicas, dado que el artificio de multiplicar o dividir por un elemento algebraico cuyo valor sea 1, no altera la ecuación.
Sin embargo, sí puede simplificar las operaciones con las variables a manera de obtener una expresión más sencilla y lograr resolver ecuaciones de una manera más fácil.
En general, todas las propiedades matemáticas son necesarias para el estudio y desarrollo de hipótesis y teorías científicas.
Nuestro mundo está lleno de fenómenos observados y estudiados constantemente por los científicos. Estos fenómenos se expresan con modelos matemáticos para facilitar su análisis y posterior comprensión.
De esta manera se pueden predecir comportamientos futuros, entre otros aspectos, lo cual trae grandes beneficios que mejoran el modo de vida de las personas.
Referencias
- Definición de números naturales. Recuperado de definicion.de.
- Matemáticas 6. Recuperado de colombiaaprende.edu.co.