¿Qué son los criterios de divisibilidad?
Los criterios de divisibilidad son argumentos teóricos utilizados para determinar si una cifra entera es divisible entre otro número entero.
Puesto que las divisiones deben ser exactas, este criterio aplica solo para el conjunto de números enteros Z. Por ejemplo, la cifra 123 es divisible entre tres, según los criterios de divisibilidad del 3, los cuales se especificarán más adelante.
Se dice que una división es exacta si su residuo es igual a cero, siendo el residuo el valor diferencial obtenido en el método de división manual tradicional. Si el residuo resulta distinto de cero, la división es inexacta, siendo necesario expresar la cifra resultante con valores decimales.
¿Para qué sirven los criterios de divisibilidad?
Su mayor utilidad se establece previa a una división manual tradicional, donde se hace necesario conocer si se obtendrá una cifra entera después de realizar dicha división.
Son comunes en la obtención de raíces por el método de Ruffini y otros procedimientos referentes a la factorización. Esta es una herramienta conocida para estudiantes que, por motivos pedagógicos, no tienen permitido aún el uso de calculadoras o herramientas digitales de cálculo.
Reglas más comunes en los criterios de divisibilidad
Existen criterios de divisibilidad para muchos números enteros, que mayormente son utilizados para el trabajo con números primos. Sin embargo, también pueden aplicarse con otros tipos de números. A continuación se definen algunos de estos criterios.
Criterio de divisibilidad del 1
No existe un criterio divisibilidad en concreto para el número 1. Solo es necesario establecer que todo número entero es divisible entre 1. Esto se debe a que todo número multiplicado por 1 permanece inalterado.
Criterio de divisibilidad del 2
Se afirma que un número es divisible entre 2 si su último dígito o número referente a las unidades, es 0 o par.
Se observan los siguientes ejemplos:
- 234: es divisible entre 2 debido a que termina en 4, que es cifra par.
- 2035: no es divisible entre 2, ya que 5 no es par.
- 1200: es divisible entre 2 debido a que su último dígito es 0.
Criterio de divisibilidad del 3
Una cifra será divisible entre 3 si la suma de sus dígitos por separado es igual a un número múltiplo de 3.
- 123: es divisible entre 3, porque la suma de sus términos 1 + 2 + 3 = 6 = 3 x 2.
- 451: no es divisible entre 3, lo que se comprueba al verificar que 4 + 5 +1 = 10, no es múltiplo de 3.
Criterio de divisibilidad del 4
Para determinar si un número es múltiplo de 4 se necesita verificar que sus dos últimas cifras sean 00 o un número múltiplo de 4.
- 3822: observando sus dos últimas cifras, “22”, se detalla que no son múltiplo de 4, por lo tanto, la cifra no es divisible entre 4.
- 644: se sabe que 44 = 4 x 11, de manera que 644 es divisible entre 4.
- 3200: por ser sus últimas cifras 00, se concluye que la cifra es divisible entre 4.
Criterio de divisibilidad del 5
Resulta bastante intuitivo que el criterio de divisibilidad del 5 es que su último dígito sea igual a 5 o a 0. Ya que en la tabla del 5 se observa que todos los resultados terminan con alguno de estos dos números.
- 350, 155 y 1605 son, según este criterio, cifras divisibles entre 5.
Criterio de divisibilidad del 6
Para que un número sea divisible entre 6 se debe cumplir que sea divisible al mismo tiempo entre 2 y 3. Esto tiene sentido, debido a que la descomposición de 6 es igual a 2×3.
Para comprobar la divisibilidad entre 6, se analizan por separado los criterios correspondientes a 2 y 3.
- 468: por terminar en número par cumple con el criterio de divisibilidad entre 2. Al sumar por separado los dígitos que componen la cifra se obtiene 4 + 6 + 8 = 18 = 3 x 6. Se cumple el criterio de divisibilidad del 3. Por lo tanto, 468 es divisible entre 6.
- 622: su número par correspondiente a las unidades indica que es divisible entre 2. Pero al sumar sus dígitos por separado, 6 + 2 + 2 = 10, que no es múltiplo de 3. De esta forma se verifica que 622 no es divisible entre 6.
Criterio de divisibilidad del 7
Para este criterio se debe separar al número completo en 2 partes; unidades y resto del número. El criterio de divisibilidad entre 7 será que la resta entre el número sin las unidades y el doble de las unidades, es igual a 0 o a un múltiplo de 7.
Esto se entiende mejor mediante ejemplos.
- 133: el número sin las unidades es 13 y el doble de las unidades es 3×2=6. De esta forma se procede a realizar la resta. 13 – 6 = 7 = 7×1. De esta forma se asegura que 133 es divisible entre 7.
- 8435: se efectúa la resta de 843 – 10 = 833. Al observarse que 833 es aún demasiado grande para determinar la divisibilidad, se aplica el proceso una vez más. 83 – 6 = 77 = 7 x 11. Se verifica así que 8435 es divisible entre 7.
Criterio de divisibilidad del 8
Se debe cumplir que las tres últimas cifras del número sean 000 o un múltiplo de 8.
- 3456 y 73000 son divisibles entre 8.
Criterio de divisibilidad del 9
De manera similar al criterio de divisibilidad del 3, se debe verificar que la suma de sus dígitos por separado sea igual a un múltiplo de 9.
- 3438: al efectuarse la suma se obtiene 3 + 4 + 3 + 8 = 18 = 9 x 2. Se verifica así que 3438 es divisible entre 9.
- 1451: sumando los dígitos por separado, 1 + 4 + 5 + 1 = 11. Al no ser múltiplo de 9 se verifica que 1451 no es divisible entre 9.
Criterio de divisibilidad del 10
Solo los números que terminen en cero serán divisibles entre 10.
- 20, 1000, y 2030 son divisibles entre 10.
Criterio de divisibilidad del 11
Este es uno de los más complejos. Sin embargo, trabajar en orden garantiza su fácil verificación. Para que una cifra sea divisible entre 11 se debe cumplir que la suma de los dígitos en posición par, menos la suma de los dígitos en posición impar sea igual a cero o múltiplo de 11.
- 39.369: la suma de las cifras pares será 9 + 6 = 15. Y la suma de las cifras de posición impar es 3 + 3 + 9 = 15. De esta forma, al efectuar la resta 15 – 15 = 0, se verifica que 39.369 es divisible entre 11.
Referencias
- N. N. Vorobyov. Criteria for Divisibility. University of Chicago Press.
- James J. Tattersall. Elementary Number Theory in Nine Chapters. Cambridge University Press.
- Leonard Eugene Dickson. History of the Theory of Numbers: Divisibility and primality. Chelsea Pub. Co.
- Peter Stevenhagen. Divisibility by 2-powers of Certain Quadratic Class Numbers. University of Amsterdam.
- Enzo R. Gentile. Aritmética elemental. Secretaría General de la Organización de los Estados Americanos, Programa Regional de Desarrollo Científico y Tecnológico.