La esperanza matemática o valor esperado de la variable aleatoria X, se denota como E(X) y se define como la sumatoria del producto entre la probabilidad de que ocurra un evento aleatorio y el valor de dicho evento.
En forma matemática se expresa del siguiente modo:
μ=E(X) = ∑ xi. P(xi) = x1.P(x1) + x2.P(x2) + x3.P(x3) +…
Donde xi es el valor del evento y P(xi) su probabilidad de ocurrencia. La sumatoria se extiende sobre todos los valores que admite X. Y si estos son finitos, la sumatoria indicada converge al valor E(X), pero si la sumatoria no converge, entonces simplemente la variable carece de valor esperado.
Cuando se trata de una variable continua x, la variable puede tener valores infinitos y las integrales reemplazan a las sumatorias:
Aquí f(x) representa la función densidad de probabilidad.
En general, la esperanza matemática (que es un promedio ponderado) no es igual a la media aritmética o promedio, a menos que se trate de distribuciones discretas en las que cada suceso sea igualmente probable. Entonces, y solo entonces:
μ= E (X) = (1/n) ∑ xi
Donde n es el número de valores posibles.
El concepto es muy útil en los mercados financieros y las compañías de seguros, en los cuales con frecuencia se carece de certidumbres pero se tienen probabilidades.
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Propiedades de la esperanza matemática
Entre las propiedades más importantes de la esperanza matemática destacan las siguientes:
– Signo: si X es positiva, entonces E(X) también lo será.
– Valor esperado de una constante: el valor esperado de una constante real k es la constante.
E(k) = k
– Linealidad en la suma: la esperanza de una variable aleatoria que es a su vez la suma de dos variables X y Y es la suma de las esperanzas.
E(X+Y) = E (X) + E (Y)
– Multiplicación por una constante: si la variable aleatoria es de la forma kX, donde k es una constante (un número real), este sale fuera del valor esperado.
E (kX) =k E(X)
– Valor esperado del producto e independencia entre variables: si una variable aleatoria es el producto de las variables aleatorias X y Y, las cuales son independientes, entonces el valor esperado del producto es el producto de los valores esperados.
E(X.Y) = E(X).E(Y)
– Variable aleatoria de la forma Y= aX + b: se encuentra aplicando las propiedades anteriores.
E(aX+b) = aE(X) + E(b) = aE(X) + b
En general, si Y = g(X):
E(Y) = E[g(X)] = ∑ g(xi). P[g(xi)]
– Orden en el valor esperado: si X ≤ Y, entonces:
E (X) ≤ E (Y)
Dado que existen los valores esperados de cada una de ellas.
La esperanza matemática en las apuestas
Cuando el famoso astrónomo Christian Huygens (1629-1695) no estaba observando los cielos, se dedicaba a estudiar, entre otras disciplinas, la probabilidad en los juegos de azar. Fue él quien introdujo el concepto de esperanza matemática en su obra de 1656 titulada: Razonamientos acerca de los juegos de azar.
Huygens encontró que las apuestas se podían clasificar de tres formas, según el valor esperado:
-Juegos con ventaja: E(X) > 0
-Apuestas justas: E (X) = 0
-Juego en desventaja: E(X) < 0
El problema es que en un juego de azar la esperanza matemática no siempre es fácil de calcular. Y cuando se puede el resultado a veces es decepcionante para quien se pregunta si debe o no apostar.
Hagamos un intento con una apuesta simple: cara o cruz y el que pierde paga un café de 1$. ¿Cuál es el valor esperado de esta apuesta?
Bien, la probabilidad de que salga cara es ½, igual a que salga una cruz. La variable aleatoria es ganar 1 $ o perder 1 $, la ganancia se denota con signo + y la pérdida con signo -.
Organizamos la información en una tabla:
Multiplicamos los valores de las columnas: 1. ½ = ½ y (-1). ½ = -½ y finalmente se suman los resultados. La suma es 0 y se trata de un juego justo, en el que se espera que los participantes ni ganen ni pierdan.
La ruleta francesa y la lotería son juegos con desventaja en los cuales la mayoría de los apostadores pierde. Más adelante hay una apuesta un poco más compleja en la sección de ejercicios resueltos.
Ejemplos
A continuación algunos ejemplos sencillos donde el concepto de esperanza matemática es intuitivo y clarifica el concepto:
Ejemplo 1
Comenzaremos lanzando un dado honesto. ¿Cuál es el valor esperado del lanzamiento? Bien, si el dado es honesto y tiene 6 caras, la probabilidad de que cualquier valor (X=1, 2, 3…6) salga es 1/6, así:
E(X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5.(1/6) + 6. (1/6) = 21/6 = 3.5
El valor esperado en este caso es igual al promedio, ya que cada cara tiene la misma probabilidad de salir. Pero E(X) no es un valor posible, ya que ninguna cara vale 3.5. Esto es perfectamente posible en algunas distribuciones, aunque en este caso el resultado no ayuda mucho al apostador.
Veamos otro ejemplo con el lanzamiento de dos monedas.
Ejemplo 2
Se arrojan al aire dos monedas honradas y definimos la variable aleatoria X como el número de caras que se obtienen. Los eventos que pueden ocurrir son los siguientes:
-Ninguna cara sale: 0 caras que es igual a 2 cruces.
-Sale 1 cara y 1 sello o cruz.
-Salen 2 caras.
Sea C una cara y T un sello, el espacio muestral que describe estos eventos es el siguiente:
Sm = {Sello-Sello; Sello-Cara; Cara-Sello; Cara-Cara}= {TT, TC, CT, CC}
Las probabilidades de que los eventos sucedan son:
P(X=0)= P(T).P(T) = ½ . ½ = ¼
P(X=1) = P(TC) + P(CT) = P(T).P(C) + P(C).P(T) = ¼ +¼= ½
P(X=2) = P(C).P(C) = ½ . ½ = ¼
Se construye la tabla con los valores obtenidos:
De acuerdo a la definición dada al principio, la esperanza matemática se calcula como:
μ=E(X) = ∑ xi. P(xi) = x1.P(x1) + x2.P(x2) + x3.P(x3) +…
Sustituyendo valores:
E(X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1
Este resultado se interpreta de la siguiente forma: si una persona tiene suficiente tiempo como para hacer una gran cantidad de experimentos lanzando las dos monedas, se espera que obtenga una cara en cada lanzamiento.
Sin embargo, sabemos que los lanzamientos en los que salgan 2 sellos son perfectamente posibles.
Ejercicio resuelto
En el lanzamiento de dos monedas honestas se hace la siguiente apuesta: si salen 2 caras se ganan 3$, si sale 1 cara se gana 1 $, pero si salen dos sellos hay que pagar 5 $. Calcular la ganancia esperada de la apuesta.
Solución
La variable aleatoria X son los valores que toma el dinero en la apuesta y las probabilidades se calcularon en el ejemplo previo, por lo tanto la tabla de la apuesta es:
E(X) = 3 . ¼ + 1. ½ + (-5) . ¼ = 0
Como el valor esperado es 0, se trata de un juego justo, entonces aquí se espera que el apostador no gane y tampoco pierda. Sin embargo, los montos de las apuestas podrían cambiarse para transformar la apuesta en un juego con ventaja o en un juego con desventaja.
Referencias
- Brase, C. 2009. Understandable Statistics. Houghton Mifflin.
- Olmedo, F. Introducción al concepto de valor esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria. Recuperado de: personal.us.es.
- Statistics LibreTexts. Expected Value of Discrete Random Variables. Recuperado de: stats.libretexts.org.
- Triola, M. 2010. Elementary Statistics. 11th. Ed. Addison Wesley.
- Walpole, R. 2007. Probabilidad y Estadística para Ciencias e Ingeniería. 8va. Edición. Pearson Educación.