Propiedades de los limites (con ejemplos)

Las propiedades de los límites son el conjunto de reglas y procedimientos algebraicos utilizados para determinarlos. El concepto de límite es fundamental para el cálculo y hallar su valor no tiene por qué ser una tarea complicada, siempre que sus propiedades se manejen con soltura.

A continuación se presenta una lista de las más importantes, acompañadas de ejemplos de aplicación.

Los límites y sus propiedades son la base del cálculo. En la figura se muestra un límite muy especial: la derivada de una función f(x)

Sean b, c, n, A y B números reales, y f y g funciones tales que verifican lo siguiente:

$\lim_{x\rightarrow c}f(x)=A$
$\lim_{x\rightarrow c}g(x)=B$

Entonces se tienen las siguientes propiedades:

1. Límite por sustitución directa

En primera instancia, el límite de una función f cuando x → c se puede calcular sustituyendo directamente x=c en la función. Si la función existe en x=c, entonces el límite es:

$\lim_{x \rightarrow {c }} f(x)=f(c)$ Pero no necesariamente la función debe estar definida en x=c para que el límite exista. La idea es acercarse tanto como se quiera al valor de x = c y ver lo que sucede con la función en ese caso.

Ejemplo

Hallar el límite de f(x) = x² cuando x → 4

Solución

El límite resuelve simplemente sustituyendo x = 4 en f(x) = x², ya que no existe inconveniente en efectuar la operación:

$\lim_{x\rightarrow {4}}x^{2}=4^{2}=16$ 2. Unicidad del límite

Si el límite de una función f(x) cuando x → c existe y vale L, dicho límite es único.

Por lo tanto, los límites laterales, que son aquellos cuando x → c^– (se lee “x tiende a c desde la izquierda”) y cuando x → c⁺(se lee “x tiende a c por la derecha”), existen ambos y tienen el mismo valor L, aun si la función no está definida en x = c.

En esta animación se presenta el concepto de límite: cuando x tiende a cierto valor c, acercándose tanto por izquierda como por la derecha, el valor de la función tiende a L. No necesariamente la función está definida en x = c. Fuente: Wikimedia Commons.

En la animación se observa este acercamiento y lo que sucede con la función en ese caso: tanto si se acerca por la izquierda como por la derecha a x =c, el valor de la función a su vez se acerca a L.

Puede servirte: Teorema fundamental de la aritmética

Matemáticamente se expresa de esta forma:

$\lim_{x\rightarrow c^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow c^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L$ Los límites laterales permiten saber cuando un límite existe o no, pues si no existen o si existen pero difieren, es seguro que el límite de la función cuando x → c no existe.

Ejemplo

Calcular el límite de f(x) cuando x → 1 si es que existe, donde f(x) está dada por:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} 4-x,\: si\: x<1\\ 4x-x^{2}, \: si\: x\geq 1\end{matrix}\right. .$

Solución

Esta es una función por partes o definida a trozos, que consiste en la recta 4 -x para los valores de x < 1 y en la parábola 4 – x² cuando x es igual a 1 o mayor que 1.

Podemos acercarnos a x =1 desde la izquierda, en tal caso se toma la parte de la función que es válida para x<1:

$\lim_{x\rightarrow 1^{-}}4-x=4-1=3 .$ Y ahora, para acercarse a x = 1 desde la derecha, se toma el valor de la función que es válido para x ≥ 1 y se tiene:

$\lim_{x\rightarrow 1^{+}}4x-x^{2}=(4\cdot 1)-1^{2}=3 .$

Como los límites laterales son iguales, se deduce que el límite de la función cuando x → 1 existe y vale 3.

3. Límite de una constante

El límite de una constante es el valor de dicha constante, sin importar el valor al cual tiende la variable:

$\lim_{x\rightarrow c}b=b .$

Ejemplo

Calcular:

$\lim_{x\rightarrow 1}\pi$ Solución

$\lim_{x\rightarrow 1}\pi= \pi$

4. Límite de la función identidad

Si f(x) = x, se cumple siempre que:

$\lim_{x\rightarrow c}x=c$

Ejemplo

Calcular:

$\lim_{x\rightarrow 2}x$ Solución

$\lim_{x\rightarrow 2}x=2$

5. Límite del producto de una constante por una función

En este caso, la constante sale fuera del límite y pasa a multiplicarlo, así:

$\lim_{x\rightarrow c}\left [b\cdot f(x) \right ]=b\cdot \lim_{x\rightarrow c} f(x)=b\cdot A$ Ejemplo

Calcular, si existe, el siguiente límite:

$\lim_{x\rightarrow -2}\left [5\cdot x^{3} \right ]$ Solución

La constante 5 queda fuera multiplicando al límite y se aplica la propiedad de sustitución:

$\lim_{x\rightarrow -2}\left [5\cdot x^{3} \right ]=5\cdot \lim_{x\rightarrow -2} x^{3}=5\cdot (-2)^{3}=-40$

6. Límite de la suma

El límite de la suma de dos funciones f y g es la suma de los límites:

$\lim_{x\rightarrow {c}}\left [ f(x)+g(x) \right ]=\lim_{x\rightarrow {c}} f(x)+\lim_{x\rightarrow {c}}g(x)=A+B$

Ejemplo

Encontrar el siguiente límite si existe:

Puede servirte: Dominio y contradominio de una función (con ejemplos)

$\lim_{\theta \rightarrow {\pi }}\left [cos\:\theta +sen\: \theta \right ]$ Solución

Se aplica primero la propiedad de la suma de los límites y después la de sustitución directa, ya que las operaciones no presentan dificultad:

$\lim_{\theta \rightarrow {\pi }}\left [cos\:\theta +sen\: \theta \right ] = \lim_{\theta \rightarrow {\pi }}cos\: \: \theta + \lim_{\theta \rightarrow {\pi}}sen\: \: \theta=cos\: \pi +sen\: \pi =-1$

7. Límite de la resta

En el caso del límite de la resta de dos funciones, se procede de manera análoga que para la suma: el límite de la resta es la resta de los límites:

$\lim_{x\rightarrow {c }} \left [f(x) - g(x) \right ]=A-B$

Ejemplo

Calcular el siguiente límite:

$\lim_{x \rightarrow {0 }} [sec\: x - e^{x} ]$ Solución

Se aplica la propiedad del límite de la resta de dos funciones y después la de sustitución directa, puesto que todas las operaciones se pueden realizar sin problema:

$\lim_{x \rightarrow {0 }} [sec\: x - e^{x} ]=\lim_{x \rightarrow {0 }} sec\: x -\lim_{x \rightarrow {0 }}e^{x} = sec\: 0-e^{0}=1-1=0$

8. Límite del producto

El límite del producto de dos funciones f y g es el producto de los límites:

$\lim_{x \rightarrow {c }} [f(x)\cdot g(x) ]=\lim_{x \rightarrow {c }} f(x) \cdot \lim_{x \rightarrow {c }}g(x) = A\cdot B$ Ejemplo

Calcular este límite:

$\lim_{x \rightarrow {0 }} cos\: x\cdot (1-x^{2^{}})$

Solución

$\lim_{x \rightarrow {0 }} cos\: x\cdot (1-x^{2^{}})=\lim_{x \rightarrow {0 }} cos\: x\cdot \lim_{x \rightarrow {0 }} (1-x^{2^{}})=cos\: 0\cdot (1-0^{2})=1$

9. Límite del cociente

El límite del cociente de dos funciones f y g es el cociente de los límites, siempre que el límite de g(x) cuando x → c sea diferente de 0, ya que la división por 0 no está definida. Entonces:

$\lim_{x \rightarrow {c }} \left [ \frac{f(x)}{g(x)} \right ]=\frac{\lim_{x \rightarrow {c }} f(x)}{\lim_{x \rightarrow {c }} g(x)}=\frac{A}{B}; \: \: \textup{con}\: B\neq 0$

Ejemplo

Calcular, si existe, el valor del siguiente límite:

$\lim_{x \rightarrow {-3 }} \left [ \frac{2x-6}{x^{2}+5} \right ]$ Solución

En primera instancia se aplica la propiedad del límite del cociente, para obtener el cociente de los límites:

$\lim_{x \rightarrow {-3 }} \left [ \frac{2x-6}{x^{2}+5} \right ]=\frac{\lim_{x \rightarrow {-3 }} 2x-6}{\lim_{x \rightarrow {-3 }} x^{2}+5}$

Ahora se aplica la propiedad de sustitución para encontrar cada límite:

$\lim_{x \rightarrow {-3 }} 2x-6=2\cdot (-3)-6=-12$ $\lim_{x \rightarrow {-3 }} x^{2}+5= (-3)^{2}+5=14$

Y dado que B ≠0, el límite buscado es el cociente A/B:

$\lim_{x \rightarrow {-3 }} \frac{2x-6}{x^{2}+5}=\frac{-12}{14}=\frac{-6}{7}$

10. Límite de una potencia

El límite de una potencia de exponente n, equivale al límite elevado a la dicha potencia, de la siguiente manera:

$\lim_{x \rightarrow {c }} \left [f(x) \right ]^{n}=\left [\lim_{x \rightarrow {c }}f(x) \right ]^{^{n}}$ Caso 1: límite de una potencia de x

Si se tiene, por ejemplo, el límite de una potencia de x, resulta:

$\lim_{x \rightarrow {c }} x^{n}=\left [\lim_{x \rightarrow {c }} x \right ]^{n}$

De acuerdo a la propiedad 4, este límite es:

Puede servirte: Binomio al cuadrado

$\lim_{x \rightarrow {c }} x^{n}=c^{n}$

Caso 2: límite de una raíz

Una raíz n-ésima se puede escribir en forma de exponente fraccionario, de allí que:

$\lim_{x \rightarrow {c }} \sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x \rightarrow {c }}f(x) }$

Importante: si el índice de la raíz es par, es necesario que el límite de f(x) cuando x → c sea mayor o igual a 0, ya que no existen raíces reales pares de cantidades negativas.

Ejemplos

Determinar, aplicando las propiedades anteriores, los siguientes límites si es que existen:

$a)\: \lim_{x \rightarrow {-2 }} (x+5)^{^{3}}$

$b)\: \lim_{x \rightarrow {3 }} \sqrt{2x-1}$

Solución a

Mediante la propiedad del límite de una potencia y de la sustitución directa se obtiene:

$\lim_{x \rightarrow {-2 }} (x+5)^{^{3}}= \left [\lim_{x \rightarrow {-2 }} (x+5) \right ]^{3}=(-2+5)^{3}=27$

Solución b

$\lim_{x \rightarrow {3 }} \sqrt{2x-1}=\sqrt{\lim_{x \rightarrow {3 }}\left (2x-1 \right )}=\sqrt{(2\cdot 3-1)}={\sqrt{5}}$

11. Límite de una exponencial

Para encontrar el límite de una exponencial de base b y exponente f(x), hay que elevar la base al límite de la función f(x) del siguiente modo:

$\lim_{x \rightarrow {c }} \left [b^{f(x)} \right ]=b^{\lim_{x \rightarrow {c}}f(x)}$

Ejemplo

Hallar si es que existe, el siguiente límite:

$\lim_{x \rightarrow {1 }} \left [e^{x^{^{2}}} \right ]$ Solución

En este límite la base es el número e y la función f(x) = x², por lo tanto hay que calcular primero el límite de x² cuando x tiende a 1:

$\lim_{x \rightarrow {1 }} x^{2}=1^{^{2}}=1$

Luego se aplica la propiedad del límite de la exponencial:

$\lim_{x \rightarrow {1 }} e^{^{x^{2}}}=e^{^{1}}=e$

12. Límite de la función potencial exponencial

El límite cuando x → c de una función f(x), que a su vez está elevada a otra función g(x) se expresa mediante:

$\lim_{x \rightarrow {c }} \left [f(x)^{g(x)} \right ]=\left [\lim_{x \rightarrow {c }}f(x) \right ]^{\lim_{x \rightarrow {c }}g(x) }$

Ejemplo

Calcular el siguiente límite, si existe:

$\lim_{x \rightarrow {-1 }} (x-1)^{^{2x}}$

Solución

Para aplicar la propiedad anterior, primeramente se identifican f(x) = x–1 y g(x) = 2x y luego se calculan los límites respectivos:

$\lim_{x \rightarrow {-1 }} (x-1)=-1-1=-2$

$\lim_{x \rightarrow {-1 }} 2x=2\cdot (-1)=-2$ Finalmente:

$\lim_{x \rightarrow {-1 }} (x-1)^{2x}=\left [\lim_{x \rightarrow {-1 }} (x-1) \right ]^{\lim_{x \rightarrow {-1 }} 2x}=(-2)^{-2}=\left (\frac{1}{-2} \right )^{2}=\frac{1}{4}$ Referencias

Ayres, F. 2000. Cálculo. 5ed. Mc Graw Hill.
Leithold, L. 1992. Cálculo con Geometría Analítica. HARLA, S.A.
Mathematics Libre Texts. Limits. Recuperado de: math.liibretexts.org.
Matemovil. Leyes y propiedades de los límites. Recuperado de: matemovil.com.
Larson, R. 2010. Cálculo de una variable. 9na. Edición. McGraw Hill.
Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Cálculo. México: Pearson Educación.
Universo Fórmulas. Propiedades de los límites. Recuperado de: universoformulas.com