Sólidos de revolución: volumen, tipos, ejercicios resueltos

El sólido de revolución es la figura tridimensional que se genera mediante rotación de una superficie plana alrededor del eje axial o eje de revolución. En la figura 1 se muestra una animación de un sólido de revolución generado de esta manera.

Otro ejemplo muy fácil de visualizar consiste en generar un cilindro circular recto, haciendo rotar un rectángulo de altura o largo h y radio r, alrededor del eje x positivo (figura 2). Para encontrar su volumen hay una fórmula muy conocida:

V = área de la base x altura

Figura 1. La figura generada por la rotación de una curva sen x. Fuente: Wikimedia Commons. Macks / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5).

Otros sólidos de revolución son la esfera, el cono circular recto y figuras varias, según la superficie puesta en rotación y por supuesto, el eje seleccionado.

Figura 2. Generación de un cilindro circular recto y una esfera. Fuente: Wikimedia Commons.

Por ejemplo, rotando el semicírculo alrededor de una recta paralela al diámetro se obtiene un sólido de revolución hueco.

Para el cilindro, el cono, la esfera, tanto macizos como huecos, existen fórmulas para encontrar el volumen, el cual depende del radio y la altura. Pero cuando son generados por otras superficies, el volumen se calcula mediante integrales definidas.

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Tipos de sólidos de revolución

Los sólidos de revolución pueden clasificarse según la curva que los genera:

Esfera

Basta con rotar un semicírculo alrededor de un eje que será el diámetro de la esfera de radio R. Su volumen es:

V_esfera = (4/3)πR³

Cono

Para obtener un cono de altura H y radio R, la superficie que se debe rotar es un triángulo rectángulo, alrededor del eje axial que pasa por uno de los catetos. Su volumen es:

V_cono = (1/3)πHR²

Cilindro

Rotando un rectángulo alrededor de un eje axial que pasa por uno de los lados, que puede ser el lado corto o el lado largo, se obtiene un cilindro circular recto de radio R y altura H, cuyo volumen es:

Puede servirte: Homotecia negativa

V_cilindro = πR²H

Toroide

El toroide tiene la forma de un donut. Se obtiene rotando una región circular alrededor de una recta en el plano que no intersecta al círculo. Su volumen viene dado por:

V_toroide = 2πa²R

Donde a es el radio de la sección transversal y R es el radio del toroide según el esquema presentado en la figura:

Figura 3. Dimensiones del toroide. Fuente: Wikimedia Commons.

Métodos para calcular el volumen de un sólido de revolución

En cálculo integral son frecuentes estos dos métodos:

-Discos y arandelas

-Cascarones

Método de los discos o las arandelas

Al rebanar un sólido de revolución la sección transversal puede ser un disco, si el sólido es macizo o puede ser una especie de arandela (un disco con un agujero en medio), si se trata de un sólido hueco.

Supongamos que se hace girar una región plana alrededor del eje horizontal. De esa región plana tomamos un pequeño rectángulo de anchura Δx, el cual se hace girar en forma perpendicular alrededor del eje axial.

La altura del rectángulo está comprendida entre la curva más externa R(x) y la más interna r(x). Ellas corresponden al radio externo y radio interno respectivamente.

Al hacer esta rotación se genera una arandela de volumen ΔV, dado por:

ΔV = Volumen completo – volumen del agujero (si lo hay)

Recordando que el volumen de un cilindro circular recto es π. radio² x altura, tenemos:

ΔV = π [R²(x) – r²(x)] Δx

El sólido se puede dividir en multitud de pequeñas porciones de volumen ΔV. Si las sumamos todas, tendremos el volumen completo.

Para ello hacemos tender a 0 el volumen ΔV, con lo cual Δx también se hace muy pequeño, pasando a ser un diferencial dx.

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Así tenemos una integral:

V = ∫_a^b π [R²(x) – r²(x)] dx

Figura 3. Método de arandelas. Fuente: Larson. R. Cálculo.

En caso de que el sólido sea macizo, entonces la función r (x) = 0, la rebanada del sólido que se genera es un disco y el volumen queda:

V = ∫_a^b πR²(x) dx

Cuando el eje de revolución es vertical, las ecuaciones anteriores toman la forma:

V = ∫_a^b π [R²(y) – r²(y)] dy y V = ∫_a^b πR²(y) dy

Método de las capas

Como el nombre lo señala, este método consiste en suponer que el sólido se compone de capas de espesor diferencial. La capa es un tubo delgado que se origina por el giro de un rectángulo paralelamente al eje de rotación.

Figura 4. Una capa cilíndrica de altura 2, largo h y radio p. Fuente: Larson, R. Cálculo.

Tenemos las siguientes dimensiones:

-La altura del rectángulo w

-Su longitud h

-La distancia del centro del rectángulo al eje de rotación p

Sabiendo que el volumen de la capa es volumen exterior – volumen interior:

π (p + w/2)²h – π (p – w/2)²h

Al desarrollar los productos notables y simplificar, se obtiene:

Volumen de la capa = 2π⋅p⋅w⋅h

Ahora hagamos que la altura w del rectángulo sea Δy, como se ve en la siguiente figura:

Figura 5. Método de las capas para eje de revolución horizontal. Fuente: Larson, R. Cálculo de una variable.

Con esto el volumen ΔV es:

ΔV = 2π p x h x Δy

Y haciendo que el número de capas n sea muy grande, Δy pasa a ser un diferencial dy, con lo cual el volumen total es la integral:

V = ∫_c^d 2π p(y)h(y)dy

El procedimiento descrito se aplica de manera similar cuando el eje de revolución es vertical:

Figura 6. Método de las capas para eje de revolución vertical. Fuente: Larson, R. Cálculo de una variable.

Ejercicio resuelto

Hallar el volumen generado por la rotación de la región plana comprendida entre las curvas:

y = x²; y=0; x=2

Alrededor del eje y.

Puede servirte: Gravicentro

Solución

-Lo primero que debemos hacer es graficar la región que va a generar el sólido de revolución y señalar el eje de giro. Lo tenemos en la siguiente gráfica:

Figura 7. Gráfica de las curvas para el ejercicio resuelto. Fuente: F. Zapata con Geogebra.

-Ahora se buscan las intersecciones entre la curva y = x² y la recta x = 2. Por su parte la recta y = 0 no es otro que el eje x.

De la gráfica es fácil advertir que la parábola y la recta se intersectan en el punto (2,4), lo cual se corrobora sustituyendo x = 2 en y = x².

-Seguidamente se escoge uno de los métodos para calcular el volumen, por ejemplo el método de capas con eje de revolución vertical:

V = ∫_a^b 2π p(x)h(x)dx

Paso 1: dibujar el rectángulo

Figura 8. Rectángulo para el ejemplo resuelto. Fuente: F. Zapata con Geogebra.

Importante: En el método de capas el lado largo del rectángulo es paralelo al eje de giro.

Paso 2: determinar p(x)

El radio de la capa es x

Paso 3: determinar h(x)

La altura del rectángulo está determinada por la parábola x².

Paso 4: establecer y resolver la integral de volumen

La variable de integración es x, la cual varía entre 0 y 2, con esto tenemos los límites de integración. Sustituyendo las expresiones para p(x) y h(x)

$V=\int_{0}^{2}2\pi x.x^{2}dx =2\pi\int_{0}^{2} x^{3}dx=2\pi\left [\frac{x^{4}}{4} \right ]_{0}^{2}=2\pi\left (\frac{16}{4} \right )=8\pi$ Algunos ejercicios pueden resolverse por ambos métodos. ¿Puede el lector resolver este con el método de las arandelas?

Referencias

Larson, R. 2010. Cálculo de una variable. 9na. Edición. McGraw Hill.
Purcell, E. 2007. Cálculo con Geometría Analítica. 9na. Edición. Pearson Educación.
Wikipedia. Solid of Revolution. Recuperado de: en.wikipedia.org.
Wikipedia. Toroide. Recuperado de: es.wikipedia.org.
Wolfram MathWorld. Solid of Revolution. Recuperado de: mathworld.wolfram.com.