Teorema de Norton

¿Qué es el teorema de Norton?

El teorema de Norton, aplicado a circuitos eléctricos, es el que establece que un circuito lineal con dos terminales a y b, se puede reemplazar por otro completamente equivalente, que consta de una fuente de corriente llamada I_No conectada en paralelo con una resistencia R_No.

Dicha corriente I_No o I_N es la que fluiría entre los puntos a y b, si estuvieran cortocircuitados. La resistencia R_N es la resistencia equivalente entre las terminales, cuando todas las fuentes independientes se desactivan. Todo lo dicho se esquematiza en la imagen superior.

La caja negra de la figura contiene el circuito lineal que se va a sustituir por su equivalente Norton. Un circuito lineal es aquel en el cual la entrada y la salida tienen una dependencia lineal, tal como la relación entre el voltaje V y la corriente directa I en un elemento óhmico: V = I.R.

Esta expresión corresponde a la ley de Ohm, donde R es la resistencia, que también puede ser una impedancia, si trata de un circuito de corriente alterna.

El teorema de Norton fue desarrollado por el ingeniero electricista e inventor Edward L. Norton (1898-1983), quien trabajó durante mucho tiempo para los Laboratorios Bell.

Aplicaciones del teorema de Norton

Cuando se tienen redes muy complicadas, con muchas resistencias o impedancias, y se desea calcular el voltaje entre alguna de ellas, o la corriente que la atraviesa, el teorema de Norton simplifica los cálculos, ya que como hemos visto, la red se puede sustituir por un circuito más pequeño y manejable.

De esta forma, el teorema de Norton es muy importante al momento de diseñar circuitos con múltiples elementos, así como para estudiar la respuesta de los mismos.

Relación entre los teoremas de Norton y Thevenin

El teorema de Norton es el dual del teorema de Thevenin, lo que significa que son equivalentes. El teorema de Thevenin señala que la caja negra en la figura puede ser sustituida por una fuente de voltaje en serie con una resistencia, llamada resistencia de Thevenin R_Th. Esto queda expresado en la siguiente imagen:

El circuito a la izquierda es el circuito original, la red lineal en la caja negra, el circuito A arriba a la derecha es el equivalente de Thevenin y el circuito B es el equivalente de Norton, tal como se ha descrito. Vistos desde los terminales a y b, los tres circuitos son equivalentes.

Ahora obsérvese que:

-En el circuito original la tensión entre terminales es V_ab.

-V_ab  =  V_Th en el circuito A

-Finalmente, V_ab  = I_N.R_N en el circuito B

Si se cortocircuitan los terminales a y b en los tres circuitos, debe cumplirse que la tensión y la corriente entre estos puntos debe ser la misma para los tres, puesto que son equivalentes. Entonces:

-En el circuito original la corriente es i.

-Para el circuito A, la corriente es i = V_Th / R_Th, de acuerdo a la ley de Ohm.

-Finalmente, en el circuito B, la corriente es I_N

Por lo tanto, se concluye que las resistencias de Norton y Thevenin tienen el mismo valor, y que la corriente viene dada por:

i = I_N = V_Th / R_Th = V_Th / R_N

Ejemplo del teorema de Norton

Para aplicar correctamente el teorema de Norton, se siguen los siguientes pasos:

-Aislar de la red la sección del circuito para la cual se va a hallar el equivalente de Norton.

-En el circuito restante, indicar las terminales a y b.

-Sustituir las fuentes de voltaje por cortocircuitos y las de corriente por circuitos abiertos, para encontrar la resistencia equivalente entre los terminales a y b. Esta es R_N.

-Regresar todas las fuentes a sus posiciones originales, cortocircuitar los terminales a y b y encontrar la corriente que circula entre ellos. Esta es I_N.

-Dibujar el circuito equivalente de Norton de acuerdo a lo indicado en la figura 1. Ambas, fuente de corriente y resistencia equivalente, quedan en paralelo.

También se puede aplicar el teorema de Thevenin para hallar R_Th, que ya sabemos es igual a R_N, luego por ley de Ohm se puede encontrar I_N y se dibuja el circuito resultante.

Y ahora veamos un ejemplo:

Encontrar el equivalente de Norton entre los puntos A y B del siguiente circuito:

Ya se tiene aislada la parte del circuito cuyo equivalente hay que encontrar. Y los puntos A y B están claramente determinados. Lo que sigue es cortocircuitar la fuente de 10 V y encontrar la resistencia equivalente del circuito obtenido:

Vistas desde los terminales A y B, ambas resistencias R₁ y R₂ están en paralelo, por lo tanto:

1/R_eq = 1/R₁₂ = (1/4) + (1/6) Ω^-1 = 5/12 Ω^-1  → R_eq = 12/5 Ω = 2.4 Ω

Seguidamente, se regresa la fuente a su lugar y se cortocircuitan los puntos A y B para encontrar la corriente que circula por allí, esta será I_N. En tal caso:

I_N = 10 V / 4 Ω = 2.5 A

Equivalente de Norton

Finalmente, se dibuja el equivalente de Norton con los valores encontrados:

Ejercicio resuelto

En el circuito de la siguiente figura:

a) Encontrar el circuito equivalente de Norton de la red externa a la resistencia de color azul.

b) Hallar también el equivalente de Thévenin.

Solución a

Siguiendo los pasos indicados con anterioridad, hay que cortocircuitar la fuente:

Cálculo de RN

Vista desde los terminales A y B, la resistencia R₃ está en serie con el paralelo formado por las resistencias R₁ y R₂, calculemos primero la resistencia equivalente de este paralelo:

1/R₁₂ = (1/6)+ (1/3) Ω^-1 = 1/2 Ω^-1  → R_eq = 2/1 Ω = 2Ω

Y a continuación, este paralelo está en serie con R_3, de manera que la resistencia equivalente es:

R_eq = 2 Ω + 4 Ω = 6 Ω

Este es el valor tanto de R_N como de R_Th, según se explicó antes.

Cálculo de IN

Seguidamente, se cortocircuitan los terminales A y B, regresando la fuente a su lugar:

La corriente que pasa por I₃ es la corriente I_N buscada, que se puede determinar con el método de mallas o empleando serie y paralelo. En este circuito R₂ y R₃ están en paralelo:

1/R₂₃ = (1/3)+ (1/4) Ω^-1 = 7/12 Ω^-1  → R₂₃ = 12/7 Ω

La resistencia R₁ está en serie con este paralelo, luego:

R₁₂₃ = 6 + (12/7) Ω = 54/7 Ω

La corriente que sale de la fuente (color azul) se calcula mediante la ley de Ohm:

V = I. R → I = V/R = 18 V / (54/7 Ω) = 7/3 A

Esta corriente se divide en dos partes: una que atraviesa R₂ y otra que atraviesa R₃. Sin embargo, la corriente que atraviesa al paralelo R₂₃ es la misma que pasa por R₁, tal como se aprecia en el circuito intermedio de la figura. El voltaje allí es:

V₂₃ = I.R₂₃ = (7/3) A .(12/7) Ω = 4 V

Ambas resistencias R₂ y R₃ están a ese voltaje, puesto que están en paralelo, por lo tanto:

I₃ = V₂₃ / R₃ = 4 V / 4 Ω = 1 A

Ya tenemos la corriente de Norton buscada, ya que como se dijo previamente I₃ = I_N, entonces:

I_N = 1 A

Equivalente de Norton

Todo está listo para dibujar el equivalente de Norton de este circuito entre los puntos A y B:

Solución b

Hallar el equivalente de Thévenin es muy sencillo, ya que R_Th = R_N= 6 Ω y según lo explicado en las secciones precedentes:

V_Th = I_N. R_N = 1 A . 6 Ω = 6 V

El circuito equivalente de Thévenin es:

Referencias

1. Alexander, C. Fundamentos de Circuitos Eléctricos. 3ra. Edición. McGraw Hill.
2. Boylestad, R. Introducción al Análisis de Circuitos. 2da. Edición. Pearson.
3. Dorf, R. Introduction to Electrical Circuits. 7th. Edition. John Wiley & Sons.
4. Edminister, J. Circuitos Eléctricos. Serie Schaum. 3ra. Edición. McGraw Hill.
5. Teorema de Norton. Recobrado de es.wikipedia.org.