Antiderivada

¿Qué es una antiderivada?

Una antiderivada F(x) de una función f(x) es también llamada primitiva o simplemente la integral indefinida de dicha función, si en un intervalo dado I, se cumple que F´(x) = f(x)

Por ejemplo, tomemos la siguiente función:

f(x) = 4x³

Una antiderivada de esta función es F(x) = x⁴, ya que al derivar F(x) mediante la regla de derivación para las potencias:

Se obtiene precisamente f(x) = 4x³.

Sin embargo, esta es solamente una de las muchas antiderivadas de f(x), ya que esta otra función: G(x) = x⁴ + 2 también lo es, porque al derivar G(x) con respecto a x, igual se obtiene de vuelta f(x).

Vamos a comprobarlo:

Recuérdese que la derivada de una constante es 0. Por lo tanto, al término x⁴ se le puede añadir una constante cualquiera y su derivada seguirá siendo 4x³.

Se concluye que cualquier función de la forma general F(x) = x⁴ + C, donde C es una constante real, sirve como antiderivada de f(x).

El ejemplo ilustrativo anterior se puede expresar así:

dF(x) = 4x³ dx

La antiderivada o integral indefinida se expresa con el símbolo ∫, por lo tanto:

F(x) = ∫4x³ dx = x⁴ + C

Donde la función f(x) = 4x³  se denomina integrando, y C es la constante de integración.

Ejemplos de antiderivadas

Encontrar una antiderivada de una función es sencillo en algunos casos en que las derivadas se conocen bien. Por ejemplo, sea la función f(x) = sen x, una antiderivada para ella es otra función F(x), tal que al derivarla se obtenga f(x).

Esa función puede ser:

F(x) = – cos x

Comprobemos que es cierto:

F´(x) = (- cos x)´= – (-sen x) = sen x

Por lo tanto, podemos escribir:

∫sen x dx = -cos x + C

Además de conocer las derivadas, existen unas reglas básicas y sencillas de integración para encontrar la antiderivada o integral indefinida.

Sea k una constante real, entonces:

1. ∫kdx = k ∫dx =kx + C

2. ∫kf(x)dx = k ∫f(x)dx

Si una función h(x) se puede expresar como la suma o resta de dos funciones, entonces su integral indefinida es:

3. ∫h(x)dx = ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx

Esta es la propiedad de la linealidad.

La regla de las potencias para las integrales se puede establecer de esta forma:

Esta regla tiene una restricción evidente: ya que el denominador n +1 no puede hacerse 0, por lo tanto n ≠ -1.

Para el caso de n = -1 se usa la siguiente regla:

5.- ∫x ^-1 dx = ln x +C

Es fácil demostrar que la derivada de ln x es precisamente x ^-1.

Ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial es aquella en la cual la incógnita se encuentra como una derivada.

Ahora bien, del análisis anterior es fácil darse cuenta de que la operación inversa a la derivada es la antiderivada o integral indefinida.

Sea f(x) = y´(x), es decir, la derivada de una cierta función. Podemos utilizar la notación siguiente para indicar dicha derivada:

De inmediato se sigue que:

dy = f(x) dx

La incógnita de la ecuación diferencial es la función y(x), aquella cuya derivada es f(x). Para despejarla se integra en ambos lados la expresión anterior, lo cual equivale a aplicar la antiderivada:

∫dy = ∫f(x) dx

La integral izquierda se resuelve mediante la regla de integración 1, con k = 1 y así se despeja la incógnita buscada:

y(x) = ∫f(x) dx = F(x) + C

Y como C es una constante real, para conocer cuál es la apropiada en cada caso, el enunciado debe contener información adicional suficiente para calcular el valor de C. A esto se le denomina condición inicial.

Veremos ejemplos de aplicación de todo esto en la siguiente sección.

Ejercicios de antiderivadas

Ejercicio 1

Aplicar las reglas de integración para obtener las siguientes antiderivadas o integrales indefinidas de las funciones dadas, simplificando los resultados tanto como sea posible. Es conveniente verificar el resultado por derivación.

Solución  a

Aplicamos primero la regla 3, ya que el integrando es la suma de dos términos:

∫ (x+7) dx = ∫ xdx + ∫7dx

Para la primera integral se aplica la regla de las potencias:

∫ xdx = (x² /2)+C₁

En la segunda integral se aplica la regla 1, siendo k = 7:

∫7dx = 7∫dx = 7x + C₂

Y ahora se suman los resultados. Las dos constantes se agrupan en una sola, llamada genéricamente C:

∫ (x+7) dx = (x² /2) + 7x + C

Solución b

Por linealidad esta integral se descompone en tres integrales más sencillas, a las cuales se les aplicará la regla de las potencias:

∫(x^3/2 + x² + 6) dx = ∫x^3/2 dx + ∫x² dx +∫6 dx =

= (2/5)x^5/2 + (1/3)x³ + 6x + C

Nótese que por cada integral aparece una constante de integración, pero se reúnen en una sola llamada C.

Solución c

En este caso, conviene aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación para desarrollar el integrando. Luego se hace uso de la regla de las potencias para hallar cada integral por separado, como en el ejercicio anterior.

∫(x+1)(3x-2) dx = ∫(3x²-2x+3x-2) dx = ∫(3x² + x – 2) dx

El lector atento observará que los dos términos centrales son semejantes, por lo tanto se reducen antes de integrar:

∫(x+1)(3x-2) dx = ∫3x² dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x³ + (1/2)x² – 2x + C

Solución e

Una manera de resolver la integral sería desarrollar la potencia, como se hizo en el ejemplo d. Sin embargo, como el exponente es más elevado, convendría hacer un cambio de variable, para no tener que hacer un desarrollo tan largo.

El cambio de variable es el siguiente:

u = x + 7

Derivando a ambos lados esta expresión:

du = dx

La integral se transforma a otra más sencilla con la nueva variable, que se resuelve con la regla de las potencias:

∫ (x+7)⁵ dx = ∫ u⁵ du = (1/6)u⁶ + C

Por último, se devuelve el cambio para regresar a la variable original:

∫ (x+7)⁵ dx = (1/6)(x+7)⁶ + C

Ejercicio 2

Una partícula está inicialmente en reposo y se mueve a lo largo del eje x. Su aceleración para t > 0 está dada por la función a (t) = cos t. Se sabe que en t = 0, la posición es x = 3, todo en unidades del Sistema Internacional. Se pide encontrar la velocidad v(t) y la posición x(t) de la partícula.

Solución

Puesto que la aceleración es la primera derivada de la velocidad respecto al tiempo, se tiene la siguiente ecuación diferencial:

a(t) = v´(t) = cos t

Se sigue que:

v(t) = ∫ cos t dt = sen t + C₁

Por otro lado, sabemos que la velocidad es a su vez la derivada de la posición, por lo tanto, volvemos a integrar:

x(t) = ∫ v(t)dt = ∫ (sen t + C₁)dt = ∫sen t dt + ∫C₁ dt = – cos t + C₁ t + C₂

Las constantes de integración se determinan a partir de la información dada en el enunciado. En primer lugar dice que la partícula estaba inicialmente en reposo, por tanto v(0)=0:

v(0) = sen 0 + C₁ = 0

C₁ = 0

Después se tiene que x(0) = 3:

x(0) = – cos 0 + C₁ 0 + C₂ = – 1 + C₂ = 3 → C₂ = 3+1=4

Las funciones velocidad y posición quedan definitivamente así:

v(t) = sen t

x(t) = – cos t + 4

Referencias

1. Engler, A. Cálculo Integral. Universidad Nacional del Litoral.
2. Larson, R. Cálculo de una variable. 9na. Edición. McGraw Hill.
3. Antiderivatives. Recuperado de math.liibretexts.org.
4. Antiderivative. Recuperado de en.wikipedia.org.
5. Integración indefinida. Recuperado de es.wikipedia.org.