Existen diversas maneras de calcular los lados y los ángulos de un triángulo. Estas dependen del tipo de triángulo con el que se esté trabajando.
En esta oportunidad, se mostrará cómo calcular los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo, suponiendo que ciertos datos del triángulo con conocidos.
Los elementos que se utilizarán son:
– El teorema de Pitágoras
Dado un triángulo rectángulo con catetos “a”, “b” e hipotenusa “c”, se cumple que “c²=a²+b²”.
– Área de un triángulo
La fórmula para calcular el área de cualquier triángulo es A=(b×h)/2, donde “b” es la longitud de la base y “h” la longitud de la altura.
– Ángulos de un triángulo
La suma de los tres ángulos internos de un triángulo es 180°.
– Las funciones trigonométricas:
Considérese un triángulo rectángulo. Entonces, se definen las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente del ángulo beta (β) como sigue:
sen(β) = CO/Hip, cos(β)= CA/Hip y tan(β)=CO/CA.
¿Cómo calcular los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo?
Dado un triángulo rectángulo ABC, se pueden presentar las siguientes situaciones:
1- Son conocidos los dos catetos
Si el cateto “a” mide 3 cm y el cateto “b” mide 4 cm, entonces para calcular el valor de “c” se utiliza el teorema de Pitágoras. Al sustituir los valores de “a” y “b” se obtiene que c²=25 cm², lo cual implica que c=5 cm.
Ahora, si el ángulo β es opuesto al cateto “b”, entonces sen(β)=4/5. Al aplicar la función inversa del seno, en esta última igualdad se obtiene que β=53,13º. Ya son conocidos dos ángulos internos del triángulo.
Sea θ el ángulo que falta por conocer, entonces 90º+53,13º+θ=180°, de donde se obtiene que θ=36,87º.
En este caso no es necesario que los lados conocidos sean los dos catetos, lo importante es conocer el valor de dos lados cualesquiera.
2- Es conocido un cateto y el área
Sea a=3 cm el cateto conocido y A=9 cm² el área del triángulo.
En un triángulo rectángulo un cateto puede ser considerado como base y el otro como altura (dado que son perpendiculares).
Supongamos que “a” es la base, por lo tanto, 9=(3×h)/2, de donde se obtiene que el otro cateto mide 6 cm. Para calcular la hipotenusa se procede como en el caso anterior, y se obtiene que c=√45 cm.
Ahora, si el ángulo β es opuesto al cateto “a”, entonces sen(β)=3/√45. Al despejar β se obtiene que su valor es 26,57º. Solo falta conocer el valor del tercer ángulo θ.
Se cumple que 90°+26,57º+θ=180°, de donde se concluye que θ=63,43º.
3- Es conocido un ángulo y un cateto
Sea β=45° el ángulo conocido y a=3 cm el cateto conocido, donde el cateto “a” es opuesto al ángulo β. Usando la fórmula de la tangente, se obtiene que tg(45°)=3/CA, de donde resulta que CA=3 cm.
Usando el teorema de Pitágoras se obtiene que c²=18 cm², es decir, c=3√2 cm.
Se sabe que un ángulo mide 90° y que β mide 45°, de aquí se concluye que el tercer ángulo mide 45°.
En este caso, el lado conocido no tiene por qué ser un cateto, puede ser cualquiera de los tres lados del triángulo.