Sistema de ecuaciones

¿Qué es un sistema de ecuaciones?

Un sistema de ecuaciones es el conjunto de dos o más ecuaciones que tienen las mismas incógnitas y al que se busca una solución común. Son frecuentes, pues en la práctica existen numerosas situaciones que dependen de muchos factores, los cuales están relacionados de varias formas.

Veamos un ejemplo: supongamos que se necesita fabricar láminas rectangulares de papel cuya área sea 180 cm² y que tengan un perímetro de 54 cm. ¿Cuáles deberán ser las dimensiones de la lámina?

Para responder la pregunta tomamos en cuenta que las dimensiones de una hoja rectangular son dos: ancho y alto. Esto quiere decir que tenemos 2 variables a las que daremos los nombres usuales de x e y.

Y estas variables deben satisfacer las dos condiciones impuestas al mismo tiempo:

-Primera condición: el área de la lámina es 180 cm². Esta será la primera función: F₁.

-Segunda condición: el perímetro o contorno de la hoja debe ser 54 cm. Esta es la segunda función F₂.

Por cada condición se establece una ecuación usando el lenguaje algebraico. El área A de una hoja rectangular se obtiene multiplicando ancho por alto:

A = x.y = 180 cm²

Y el perímetro P resulta de sumar los lados. Dado que el perímetro es la suma de los lados:

P = 2x + 2y = 54 cm

El sistema resultante de dos ecuaciones y dos incógnitas es:

xy = 180

2(x + y) = 54

Necesitamos dos números cuyo producto sea 180 y que el doble producto de su suma sea 54, o lo que es igual: sumados tienen que dar 27. Estos números son 12 y 15.

En la sección de ejercicios resueltos ofreceremos el método detallado para dar con estos valores, mientras tanto el lector puede comprobar fácilmente sustituyendo, que efectivamente, satisfacen ambas ecuaciones.

Ejemplos de aplicaciones de un sistema de ecuaciones

La situación propuesta arriba contiene 2 variables, y se requieren al menos 2 ecuaciones para dar con ellas. Hay sistemas con muchas más variables, pero en todo caso, si el sistema tiene n de ellas, se requiere al menos n ecuaciones independientes entre sí (una no puede ser combinación lineal de las otras) para hallar la solución, si es que esta existe.

En cuanto a las aplicaciones, son numerosas. He aquí algunas en las cuales los sistemas de ecuaciones demuestran su utilidad:

-Encontrar las corrientes que circulan a través de un circuito mediante las leyes de Kirchoff.

-En el transporte terrestre y aéreo para establecer los horarios de salida y llegada.

-Hallar las magnitudes de las fuerzas en sistemas dinámicos o estáticos sujetos a múltiples interacciones.

-Para conocer la cantidad de ítems vendidos durante cierto tiempo, o en las fábricas, para determinar las dimensiones de objetos para que satisfagan ciertas condiciones en cuanto a superficie o volumen.

-Al determinar la manera de repartir un capital en inversiones varias.

-Establecer las tarifas para diversos servicios, por ejemplo, telecomunicaciones o espectáculos, y conocer la cantidad de dinero recaudado (ver ejemplo resuelto 2)

Métodos de solución de sistemas de ecuaciones

Método de sustitución

-Se escoge una ecuación y se despeja una de las variables.

-Después hay que sustituir en otra ecuación la variable despejada. Entonces esta variable desaparece de allí, y si el sistema tiene dos ecuaciones y dos incógnitas, queda una ecuación con una variable que ya se puede despejar.

-Si el sistema tiene más de dos variables, hay que despejar una tercera incógnita de otra ecuación y sustituirla también.

Un ejemplo de aplicación de este método está en el ejercicio resuelto 1.

Método de reducción o eliminación

Este método consiste en sumar o restar ecuaciones para eliminar una o más variables y dejar una sola. Para ello conviene multiplicar las ecuaciones por un factor tal que, al sumar con otra ecuación, la incógnita desaparezca. Veamos un ejemplo:

3x² – y² = 11

x² + 4y² = 8

Multiplicamos la primera ecuación por 4:

12x² – 4y² = 44

x² + 4y² = 8

Al sumarlas desaparece la incógnita y, quedando:

13x² = 52

x² = 4

Por lo tanto, x₁ = 2 y x₂ = -2. Con estos valores el lector puede comprobar que y₁ = 1 y y₂ = -1

Método de igualación

Cuando el sistema es dos ecuaciones con dos incógnitas:

-Se elige una incógnita y se despeja de ambas ecuaciones.

-Los resultados se igualan, lo que permite obtener una sola ecuación con una sola incógnita.

-Se resuelve esta ecuación y el resultado se sustituye en alguno de los despejes anteriores para obtener el valor de la otra incógnita.

Este método se aplicará en el ejercicio resuelto 2 de la siguiente sección.

Método gráfico

Este método consiste en graficar las curvas que representa cada ecuación. El punto de intersección es la solución del sistema. En el siguiente ejemplo se muestra la solución gráfica del sistema:

x² + y ² = 1

2x + 4y = 0

La primera de las ecuaciones es una circunferencia de radio 1 centrada en el origen y la segunda es una recta.

La intersección de ambas son los dos puntos mostrados en azul. El lector puede comprobar que al sustituir las coordenadas de los puntos en las ecuaciones de arriba se obtiene una igualdad.

Ejercicios resueltos

Ejercicio resuelto 1

Se necesita fabricar láminas rectangulares de papel de área 180 cm² y con perímetro de 54 cm. ¿Cuáles deberán ser las dimensiones de la lámina?

Solución

El sistema a resolver es:

xy = 180

2(x + y) = 54

La segunda ecuación se puede simplificar a x + y = 27, por lo tanto:

xy = 180

x + y = 27

Se despeja una de las incógnitas de la segunda ecuación:

y = 27 – x

El despeje se sustituye en la primera:

(27 –x) = 180

Aplicando la propiedad distributiva:

-x² + 27x = 180

Multiplicando por (-1) a ambos lados de la ecuación y enviando el 180 al lado izquierdo:

x² – 27x +180 = 0

Resulta una ecuación de segundo grado en x, que se resuelve mediante la fórmula:

Con a = 1, b= -27 y c = 180

Las soluciones son: x₁ = 15 cm y x₂ = 12, por lo tanto, las dimensiones de y son y₁ = 12 cm y y₂ = 15 cm.

Ejercicio resuelto 2

Un parque de diversiones tiene las siguientes tarifas por entrada: niños 1.5 $ y adultos 4 $. En un día hubo 2.200 visitantes, recaudando 5.050 $. Encontrar el número de niños y de adultos que visitaron el parque ese día.

Solución

Sea x el número de niños e y el número de adultos. Podemos establecer la primera de las ecuaciones sabiendo que la suma de ambos debe ser 2.200:

x + y = 2200.

Ahora vamos con el dinero recaudado. El precio de la entrada para niños es 1.5 $ por cada niño, al multiplicar este valor por x, el número de niños, tendremos la cantidad por concepto de entrada infantil:

1.5x = dinero recaudado por entradas infantiles

Y si multiplicamos 4 $ por adulto por la cantidad y de visitantes adultos, se obtiene el total de dinero por todos los adultos:

4y = dinero recaudado por entradas de adultos

Sumamos esto para obtener 5.050 $:

1.5x + 4y = 5050

Nuestro sistema de ecuaciones es:

x + y = 2200

1.5x + 4y = 5050

Vamos a resolverlo por igualación. Despejamos la variable y de la primera y de la segunda ecuación:

y = 2200 – x

y = (5050 – 1.5 x) /4

Igualamos ambas expresiones:

2200 – x = (5050 – 1.5x) /4

Multiplicamos todo por 4 para eliminar la fracción:

8800 – 4x = 5050 – 1.5x

Agrupamos los términos con x a la izquierda y los números puros a la derecha:

-4x + 1.5x = 5050 – 8800

-2.5x = -3750

x = 1500 niños.

Sustituimos este valor en y = 2200 – x para saber el número de adultos:

y = 2200 – 1500 = 700 adultos.

Referencias

1. Sistemas de ecuaciones e inecuaciones. Recuperado de ck12.org.
2. Hoffman, J. Selección de temas de Matemática. Volumen 2.
3. Jiménez, R. Álgebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. Precálculo: Matemáticas para el Cálculo. 5ta. Edición. Cengage Learning.
5. Zill, D. Álgebra y Trigonometría. McGraw Hill.