Constante de integración

¿Qué es la constante de integración?

La constante de integración es un valor agregado al cálculo de las antiderivadas o integrales, sirve para representar las soluciones que conforman la primitiva de una función. Expresa una ambigüedad inherente donde cualquier función cuenta con un número infinito de primitivas.

Por ejemplo, si se toma la función: f(x) = 2x + 1 y conseguimos su antiderivada:

∫(2x+1) dx = x² + x + C ; Donde C es la constante de integración y representa gráficamente la traslación vertical entre las infinitas posibilidades de la primitiva. Es correcto decir que (x² + x) es una de las primitivas de f(x).

De igual manera, se puede definir a (x² + x + C) como la primitiva de f(x).

Propiedad inversa

Se puede notar que al derivar la expresión (x² + x) se obtiene la función f(x) = 2x + 1. Esto se debe a la propiedad inversa existente entre la derivación e integración de funciones. Dicha propiedad permite obtener fórmulas de integración partiendo desde la diferenciación. Lo cual permite la verificación de integrales mediante las mismas derivadas.

Sin embargo, (x² + x) no es la única función cuya derivada es igual a (2x + 1).

1. d (x² + x)/ dx = 2x + 1

2. d (x² + x + 1)/ dx = 2x + 1

3. d (x² + x + 2)/ dx = 2x + 1

4. d (x² + x + 3)/ dx = 2x + 1

5. d (x² + x + C)/ dx = 2x + 1

Donde 1, 2, 3 y 4 representan primitivas particulares de f(x) = 2x + 1. Mientras que 5 representa la integral indefinida o primitiva de f(x) = 2x + 1.

Las primitivas de una función se consiguen mediante el proceso de antiderivación o integral. Donde F será una primitiva de f si se cumple lo siguiente

• y = ∫ f(x)dx = F (x) + C ;   C = constante de integración
• F’(x) = f(x)

Se aprecia que una función posee una sola derivada, a diferencia de sus infinitas primitivas resultantes de la integración.

La integral indefinida

   ∫ f(x)dx = F (x) + C

Corresponde a una familia de curvas con el mismo patrón, que experimentan incongruencia en el valor de las imágenes de cada punto (x , y). Cada función que cumpla con este patrón será una primitiva individual, y al conjunto de todas las funciones se le conoce como integral indefinida.

El valor de la constante de integración será el que diferencie cada función en la práctica.

La constante de integración sugiere un desplazamiento vertical en todas las gráficas que representan las primitivas de una función. Donde se observa el paralelismo entre ellas, y el hecho de que C es el valor del desplazamiento.

Según las practicas comunes, la constante de integración se denota con la letra “C” posterior a un sumando, aunque en la práctica es indiferente si la constante se suma o resta. Su valor real puede encontrarse en diversas formas según distintas condiciones iniciales.

Otros significados de la constante de integración

Ya se habló de cómo la constante de integración se aplica en cálculo integral. Representando una familia de curvas que definen la integral indefinida. Pero muchas otras ciencias y disciplinas han asignado valores muy interesantes y prácticos de la constante de integración, que han facilitado el desarrollo de múltiples estudios.

En física, la constante de integración puede tomar múltiples valores según la naturaleza del dato. Un ejemplo muy común es conocer la función V(t) que representa la velocidad de una partícula versus el tiempo t. Se sabe que al calcular una primitiva de V(t) se obtiene la función R(t), que representa la posición de la partícula versus el tiempo.

La constante de integración representará el valor de la posición inicial, es decir, en el instante t = 0.

De igual manera, si se conoce la función A(t), que representa la aceleración de la partícula versus el tiempo. La primitiva de A(t) resultará en la función V(t), donde la constante de integración será el valor de la velocidad inicial V₀.

En economía, al obtener mediante integración la primitiva de una función de costos, la constante de integración representará los costos fijos. Y así muchas otras aplicaciones que ameritan cálculo diferencial e integral.

¿Cómo se calcula la constante de integración?

Para el cálculo de la constante de integración, siempre será necesario conocer las condiciones iniciales, que son las encargadas de definir cuál de las posibles primitivas es la correspondiente.

En muchas aplicaciones, se trata como variable independiente al tiempo (t), donde la constante C toma los valores que definen las condiciones iniciales del caso en particular.

Si se toma el ejemplo inicial:  ∫(2x+1)dx = x² + x + C

Una condición inicial válida puede ser condicionar a que la gráfica pase por una coordenada especifica. Por ejemplo, se sabe que la primitiva (x² + x + C) pasa por el punto (1 , 2)

F ( x ) = x² + x + C ; esta es la solución general

F ( 1 ) = 2

Sustituimos la solución general en esta igualdad

F ( 1 ) = (1)² + (1) + C = 2

De donde fácilmente se deduce que C = 0

De esta forma, la primitiva correspondiente para este caso es F ( x ) = x² + x

Existen diversos tipos de ejercicios numéricos que trabajan con constantes de integración. De  hecho, el cálculo diferencial e integral no deja de aplicarse en las investigaciones vigentes. En distintos niveles académicos se pueden encontrar; desde cálculo inicial, pasando por física, química, biología, economía, entre otros.

También se aprecia en el estudio de ecuaciones diferenciales, donde la constante de integración puede tomar diversos valores y soluciones, esto debido a las múltiples derivaciones e integraciones que en esta materia se realizan.

Ejemplos de constante de integración

Ejemplo 1

Un cañón ubicado a 30 metros de altura dispara verticalmente hacia arriba un proyectil. Se conoce que la velocidad inicial del proyectil es de 25 m/s. Determinar:

• La función que define la posición del proyectil respecto al tiempo.
• El tiempo de vuelo o instante de tiempo en que la partícula toca el suelo.

Se sabe que en un movimiento rectilíneo uniformemente variado la aceleración es un valor constante. Este es el caso del lanzamiento de proyectil, donde la aceleración será la gravedad.

g = – 10 m/s²

También se conoce que la aceleración es la segunda derivada de la posición, lo que indica una doble integración en la resolución del ejercicio, obteniéndose así dos constantes de integración.

A(t) = -10

V(t) = ∫A(t)dt =∫(-10t) dt = -10t + C₁

Las condiciones iniciales del ejercicio indican que la velocidad inicial es V₀ = 25 m/s. Esta es la velocidad en el instante de tiempo t = 0. De esta forma se cumple que:

V(0) = 25 = -10(0) + C₁   y C₁ = 25

Quedando definida la función velocidad

V(t) = -10t + 25 ; Se puede observar la similitud con la fórmula de MRUV  (V_f = V₀ + a x t)

De manera homóloga, se procede a integrar la función velocidad para conseguir la expresión que define a la posición:

R(t) = ∫V(t)dt = ∫(-10t+25)dt = -5t² + 25t + C₂

R(t) = -5t² + 25t + C₂ (primitiva de la posición)

Se conoce la posición inicial R(0) = 30 m. Luego se calcula la primitiva particular del proyectil.

R(0) = 30m = -5(0)² + 25(0) + C₂ . Donde C₂ = 30

Queda resuelto el primer apartado desde que R(t) = -5t² + 25t + 30. Esta expresión es homóloga de la fórmula de desplazamiento en MRUV R(t) = R₀ + V₀t – gt²/2

Para el segundo apartado se debe resolver la ecuación cuadrática: -5t² + 25t + 30 = 0

Ya que esta condiciona a la partícula a llegar hasta el suelo (posición = 0)

En realidad, la ecuación de 2° grado nos arroja 2 soluciones T:{6 , -1}. Se ignora el valor t = -1, debido a que se trata de unidades de tiempo cuyo dominio no incluye a los números negativos.

De esta manera se resuelve el segundo apartado, donde el tiempo de vuelo es igual a 6 segundos.

Ejemplo 2

Hallar la primitiva f(x) que cumpla con las condiciones iniciales:

• f’’(x) = 4 ; f’(2) = 2  ; f(0) = 7

Con la información de la segunda derivada f’’(x) = 4 se comienza el proceso de antiderivación

f’(x) =  ∫f’’(x)dx

∫4 dx = 4x + C₁

Luego, al conocer la condición f’(2) = 2 se procede:

4(2) + C₁ = 2

C₁ = -6   y f’(x) = 4x – 8

Se procede de igual manera para la segunda constante de integración

f(x) = ∫f’(x)dx
∫(4x – 8)dx = 2x² – 8x + C₂

Se conoce la condición inicial f(0) = 7 y se procede:

2(0)² – 8(0) + C₂ = 7

C₂ = 7   y f(x) = 2x² – 8x + 7

• f’’(x) = x² ; f’(0) = 6  ; f(0) = 3

De manera similar al problema anterior, definimos las primeras derivadas y la función original a partir de las condiciones iniciales.

f’(x) = ∫f’’(x)dx

∫(x²) dx = (x³/3) + C₁

Con la condición f’(0) = 6  se procede:

( 0³/3 ) + C₁ = 6   ;    Donde  C₁ = 6   y  f’(x) = ( x³/3 ) + 6

Luego, la segunda constante de integración

f(x) = ∫f’(x)dx

∫[ ( x³/3 ) + 6 ] dx = (x⁴/12) + 6x + C₂

Se conoce la condición inicial f(0) = 3 y se procede:

[(0)⁴/12] + 6(0) + C₂ = 3 ; Donde C₂ = 3

Se obtiene así la primitiva particular

f(x) = (x⁴/12) + 6x + 3

Ejemplo 3

Definir las funciones primitivas dadas las derivadas y un punto de la gráfica:

• dy/dx = 2x – 2   Que pasa por el punto (3 , 2)

Es importante recordar que las derivadas se refieren a la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto determinado. Donde no es correcto asumir que la gráfica de la derivada toca el punto señalado, pues este pertenece a la gráfica de la función primitiva.

De esta forma expresamos la ecuación diferencial de la siguiente manera:

dy = (2x – 2)dx  ; luego al aplicar los criterios de antiderivación se tiene:

∫dy = ∫(2x – 2)dx

y = x² – 2x + C

Aplicando la condición inicial:

2 = (3)² – 2(3) + C

C = -1

Se obtiene: f(x) = x² – 2x – 1

• dy/dx = 3x² – 1   Que pasa por el punto (0 , 2)

Expresamos la ecuación diferencial de la siguiente manera:

dy = (3x² – 1)dx  ; luego al aplicar los criterios de antiderivación se tiene:

 ∫dy = ∫(3x² – 1) dx 

y = x³ – x + C

Aplicando la condición inicial:

2 = (0)² – 2(0) + C

C = 2

Se obtiene: f(x) = x³ – x + 2

Ejercicios propuestos

Ejercicio 1

Hallar la primitiva f(x) que cumpla con las condiciones iniciales:

• f’’(x) = x ; f’(3) = 1  ; f(2) = 5
• f’’(x) = x + 1 ; f’(2) = 2  ; f(0) =1
• f’’(x) = 1 ; f’(2) = 3  ; f(1) = 10
• f’’(x) = -x ; f’(5) = 1  ; f(1) = -8

Ejercicio 2

Un globo que asciende con velocidad de 16 pies/s suelta un saco de arena desde una altura de 64 pies sobre el nivel del suelo.

• Defina el tiempo de vuelo
• ¿Cuál será el vector V_f cuando toque el piso?

Ejercicio 3

La figura muestra la gráfica aceleración-tiempo de un auto que se mueve en el sentido positivo del eje x. El auto viajaba a una rapidez constante de 54 km/h cuando el conductor aplicó los frenos para detenerse en 10 segundos. Determine:

• La aceleración inicial del auto
• La velocidad del auto en t = 5s
• El desplazamiento del auto durante el frenado

Ejercicio 4

Definir las funciones primitivas dadas las derivadas y un punto de la gráfica:

• dy/dx  = x   Que pasa por el punto (-1 , 4)
• dy/dx  = -x² + 1   Que pasa por el punto (0 , 0)
• dy/dx  = -x + 1   Que pasa por el punto (-2 , 2)

Referencias

1. Velásquez Bastidas, W. Cálculo Integral. La integral indefinida y métodos de integración. Universidad del Magdalen.
2. Stewart, J. Cálculo de una variable. Trascendentes Tempranas. México: Thomson Learning.
3. Jiménez, R. Matemáticas VI. Cálculo Integral. México: Pearson Educación.
4. Física I. Mc Graw Hill.