¿Qué son las coordenadas esféricas?
Las coordenadas esféricas son un sistema de ubicación de puntos en el espacio tridimensional que consta de una coordenada radial y dos coordenadas angulares, denominadas coordenada polar y coordenada azimutal.
En la imagen superior, se muestran las coordenadas esféricas (r, θ, φ) de un punto M. Estas coordenadas están referidas a un sistema ortogonal de ejes cartesianos X, Y, Z de origen O.
En este caso, la coordenada r del punto M es la distancia de ese punto al origen O. La coordenada polar θ representa el ángulo entre el semieje positivo Z y el radio vector OM. Mientras que la coordenada azimutal φ es el ángulo entre el semieje positivo X y el radio vector OM’, siendo M’ la proyección ortogonal de M sobre el plano XY.
La coordenada radial r solo toma valores positivos, pero si un punto está ubicado en el origen, entonces r=0. La coordenada polar θ toma como valor mínimo 0º para puntos ubicados sobre el semieje positivo Z y valor máximo 180º para los puntos está ubicado en el semieje negativo Z. Por último, la coordenada azimutal φ toma como valor mínimo 0º y cota máxima de 360º.
0 ≤ r < ∞
0 ≤ θ ≤ 180º
0 ≤ φ < 360º
Cambio de coordenadas
A continuación se darán las fórmulas que permiten obtener las coordenadas cartesianas (x, y, z) de un punto M suponiendo conocidas las coordenadas esféricas del mismo (r, θ, φ) punto:
x = r Sen(θ) Cos(φ)
y = r Sen(θ) Sen(φ)
z = r Cos(θ)
De igual manera, es útil hallar las relaciones para pasar de las coordenadas cartesianas (x, y, z) de un punto dado a las coordenadas esféricas de dicho punto:
r = √( x^2 + y^2 + z^2 )
θ = Arctan( √( x^2 + y^2) / z )
φ = Arctan( y / x )
Base vectorial en coordenadas esféricas
A partir de las coordenadas esféricas se define una base ortonormal de vectores base, los cuales se denotan por ar, aθ, aφ. En la figura 1 se muestran estos tres vectores unitarios, los cuales tienen las siguientes características:
– ar es el vector unitario tangente a la recta radial θ = ctte y φ = ctte;
– aθ es el vector unitario tangente al arco φ = ctte y r = ctte;
– aφ es el vector unitario tangente al arco r = ctte y θ = ctte.
Elementos de línea y volumen en coordenadas esféricas
El vector posición de un punto en el espacio en coordenadas esféricas se escribe así:
r = r ar
Pero una variación o desplazamiento infinitesimal de un punto en el espacio tridimensional, en estas coordenadas, está expresado mediante la siguiente relación vectorial:
dr = dr ar + r dθ aθ + r Sen(θ) dφ aφ
Por último, un volumen infinitesimal dV en las coordenadas esféricas se escribe así:
dV = r^2 Sen(θ) dr dθ dφ
Estas relaciones son de gran utilidad para el cálculo de integrales de línea y de volumen en las situaciones físicas que tengan simetría esférica.
Relación de las coordenadas esféricas con las coordenadas geográficas
Se entiende por coordenadas geográficas las que sirven para ubicar lugares en la superficie terrestre. Este sistema usa las coordenadas de latitud y longitud para ubicar la posición sobre la superficie de la Tierra.
En el sistema de coordenadas geográficas, la superficie terrestre se supone esférica de radio Rt, aun cuando se sabe que es achatada en los polos, y se considera un conjunto de líneas imaginarias denominadas paralelos y meridianos.
La latitud β es un ángulo formado por un radio que parte del centro de la Tierra hasta el punto que se quiere posicionar. Se mide a partir del plano ecuatorial, tal como se muestra en la figura 2. Por otra parte, la longitud α es el ángulo que el meridiano del punto que se está ubicando forma respecto del meridiano cero (conocido como meridiano de Greenwich).
La latitud puede ser norte o latitud sur, dependiendo de si el lugar que se está ubicando está en el hemisferio norte o en el hemisferio sur. Similarmente, la longitud puede ser oeste o este, dependiendo de si la ubicación está al oeste o el este del meridiano cero.
Fórmulas para cambiar de geográficas a esféricas
Para obtener estas fórmulas, lo primero es establecer un sistema de coordenadas. Se elige el plano XY coincidiendo con el plano ecuatorial, siendo el semieje positivo X el que va del centro de la Tierra y pasando por el meridiano cero. A su vez, el eje Y pasa por el meridiano 90º E. La superficie terrestre tiene radio Rt.
Con este sistema de coordenadas, las transformaciones de geográficas a esféricas quedan así:
αEβN → (Rt, θ=90º-β, φ=α)
αOβN → (Rt, θ=90º-β, φ=360º-α)
αEβS → (Rt, θ=90º+β, φ=α)
αOβS → (Rt, θ=90º+β, φ=360º-α)
Ejemplos de coordenadas esféricas
Ejemplo 1
Las coordenadas geográficas de Palma de Mallorca (España) son:
Longitud Este 38,847º y Latitud Norte 39,570º. Para determinar las coordenadas esféricas correspondientes a Palma de Mallorca se aplica la primera de las fórmulas de las fórmulas de la sección previa:
38,847 °E39,570 °N → (r=6371 km, θ=90º-39,570º, φ=38,847º)
Entonces las coordenadas esféricas son:
Palma de Mallorca:(r=6371 km, θ=50,43º, φ=38,85º)
En la respuesta anterior se ha tomado r igual al radio promedio de la Tierra.
Ejemplo 2
Sabiendo que las islas Malvinas (Falkland) tienen coordenadas geográficas 59º O 51,75 °S, determinar las coordenadas polares correspondientes. Recordar que el eje X va del centro de la Tierra al meridiano 0º y sobre el plano ecuatorial; el eje Y también en el plano ecuatorial y pasando por el meridiano 90º Oeste; por último el eje Z en el eje de rotación terrestre en sentido Sur-Norte.
Para hallar entonces las coordenadas esféricas correspondientes, usamos las fórmulas presentadas en la sección anterior:
59º O 51,75ºS → (r=6371 km, θ=90º+51,75º, φ=360º-59º) es decir,
Malvinas:(r=6371 km, θ=141,75º, φ=301º)
Ejercicios resueltos
Ejercicio 1
Hallar las coordenadas cartesianas de Palma de Mallorca en el sistema de referencia cartesiano XYZ mostrado en la figura 2.
Solución: Previamente, en el ejemplo 1 se obtuvo las coordenadas esféricas partiendo de las coordenadas geográficas de Palma de Mallorca. De modo que pueden usarse las fórmulas presentadas más arriba para pasar de esféricas a cartesianas:
x = 6371 km Sen(50,43º) Cos(38,85º)
y = 6371 km Sen(50,43º) Sen(38,85º)
z = 6371 km Cos(50,43º)
Realizando los cálculos correspondientes se tiene:
Palma de Mallorca: (x=3825 km, y=3081 km, z=4059)
Ejercicio 2
Hallar las coordenadas cartesianas de las islas Malvinas en el sistema de referencia cartesiano XYZ mostrado en la figura 2.
Solución: Previamente en el ejemplo 2 se obtuvo las coordenadas esféricas partiendo de las coordenadas geográficas de las islas Malvinas. De modo que pueden usarse las fórmulas presentadas más arriba para pasar de esféricas a cartesianas:
x = 6371 km Sen(141,75º) Cos(301º)
y = 6371 km Sen(141,75º) Sen(301º)
z = 6371 km Cos(141,75º)
Realizando los cálculos correspondientes se obtiene:
Islas Malvinas: (x=2031 km, y=-3381 km, z=-5003)
Referencias
- Arfken, G., Weber, H. Mathematical methods for physicists. A comprehensive guide. 7th edition. Academic Press.
- Problemas resueltos de coordenadas cilíndricas y esféricas. Recuperado de calculo.cc.
- Weisstein, E.W. Spherical Coordinates. Recuperado de mathworld.wolfram.com.
- Spherical coordinate system. Recuperado de en.wikipedia.com.
- Vector fields in cylindrical and spherical coordinates. Recuperado de en.wikipedia.com.