La ecuación general de una recta L es la siguiente: Ax+By+C=0, donde A, B y C son constantes, x es la variable independiente e y la variable dependiente.
La pendiente de una recta, denotada de forma general por la letra m, que pasa por los puntos P=(x1,y1) y Q=(x0,y0) es el siguiente cociente m:=(y1-y0)/(x1-x0).
La pendiente de una recta, representa de cierto modo la inclinación; dicho más formalmente, la pendiente de una recta es la tangente del ángulo que esta forma con el eje X.
Se debe notar que el orden en que se nombren los puntos es indiferente, ya que (y0-y1)/(x0-x1)=-(y1-y0)/(-(x1-x0))=(y1-y0)/(x1-x0).
Pendiente de una recta
Si se conocen dos puntos por los cuales pase una recta es fácil calcular su pendiente. Pero ¿qué pasa si no se conocen dichos puntos?
Dada la ecuación general de una recta Ax+By+C=0, se tiene que su pendiente es m=-A/B.
¿Cuál es la ecuación general de una recta cuya pendiente es 2/3?
Como la pendiente de la recta es 2/3 entonces se establece la igualdad -A/B=2/3, con lo cual podemos ver que A=-2 y B=3. De modo que la ecuación general de una recta con pendiente igual a 2/3 es -2x+3y+C=0.
Se debe aclarar que si se escoge A=2 y B=-3, se obtendrá la misma ecuación. En efecto, 2x-3y+C=0, la cual es igual a la anterior multiplicada por -1. El signo de C no importa, ya que es una constante general.
Otra observación que se puede realizar es que para A=-4 y B=6 se obtiene la misma recta, a pesar de que su ecuación general sea diferente. En este caso la ecuación general es -4x+6y+C=0.
¿Existen otras formas de hallar la ecuación general de la recta?
La respuesta es Si. Si se conoce la pendiente de una recta existen dos formas, adicionales a la anterior, de hallar la ecuación general.
Para ello se utilizan la ecuación Punto-Pendiente y la ecuación Corte-Pendiente.
-La ecuación Punto-Pendiente: si m es la pendiente de una recta y P=(x0,y0) un punto por donde esta pasa, entonces la ecuación y-y0=m(x-x0) es llamada la ecuación Punto-Pendiente.
-La ecuación Corte-Pendiente: si m es la pendiente de una recta y (0,b) es el corte de la recta con el eje Y, entonces la ecuación y=mx+b es llamada la ecuación Corte-Pendiente.
Empleando el primer caso, se obtiene que la ecuación Punto-Pendiente de una recta cuya pendiente es 2/3 está dada por la expresión y-y0=(2/3)(x-x0).
Para llegar a la ecuación general se multiplica por 3 a ambos lados y se agrupan todos los términos a un lado de la igualdad, con lo cual se obtiene que -2x+3y+(2×0-3y0)=0 es la ecuación general de la recta, donde C=2×0-3y0.
Si se utiliza el segundo caso, se obtiene que la ecuación Corte-Pendiente de una recta cuya pendiente es 2/3 es y=(2/3)x+b.
Nuevamente, multiplicando por 3 a ambos lados, y agrupando todas las variables, se obtiene -2x+3y-3b=0. Esta última es la ecuación general de la recta donde C=-3b.
En realidad, mirando de cerca ambos casos, se puede apreciar que el segundo caso es simplemente un caso particular del primero (cuando x0=0).