Error aleatorio

¿Qué es el error aleatorio?

El error aleatorio de una cantidad física consiste en las variaciones no predecibles de la medida de esa cantidad. Estas variaciones pueden ser producidas por el fenómeno que se mide, por el instrumento de medición o por el propio observador.

Tal error no se debe a que algo se ha hecho mal durante el experimento, sino que es inherente al proceso de medición o al fenómeno que se estudia. Esto causa que la cantidad medida sea a veces un poco mayor y a veces un poco menor, pero por lo general oscila alrededor de un valor central.

Al contrario del error aleatorio, el error sistemático puede ser causado por una mala calibración o un factor de escala inadecuado en el instrumento de medida, incluso una falla en el equipo experimental, o una observación inadecuada, que origina una desviación en un mismo sentido.

La figura superior ilustra la diferencia entre error sistemático y aleatorio en el juego de lanzamiento de dardos a un blanco con círculos.

En el caso de la izquierda, los dardos se concentran alrededor de un punto muy alejado del centro. El lanzador, aunque de buena puntería, tiene una falla sistemática, quizá de origen visual, o en la forma de lanzar.

En cambio, el lanzador de la derecha (en la imagen) tiene gran dispersión en torno al blanco central, por lo tanto, es un lanzador muy impreciso, de mala puntería, que involuntariamente comete error aleatorio.

Fórmulas y ecuaciones en el error aleatorio

Cuando en el proceso de medición se observa error aleatorio, es necesario repetir la medida varias veces, ya que desde el punto de vista estadístico, a mayor número de mediciones, menor será el error en la estimación final de la medición.

Claro está, en cada medición hay que cuidar que las condiciones en que se realizan sean siempre las mismas.

Supongamos que la medición se repite n veces. Como hay error aleatorio en cada medición se tendrá un valor ligeramente diferente. Supongamos que el conjunto de las n mediciones es:

{x₁, x₂, x₃, ….., x_n }

Entonces ¿qué valor reportar para la medida? 

Valor promedio y desviación estándar

Se debe reportar el valor medio o promedio del conjunto de medidas, el cual denotamos por <x> y se calcula de la siguiente manera:

<x> = (x₁ + x₂ + x₃ + ……+x_n) / n

Desviación estándar

Sin embargo, este resultado tiene un margen de error dado por la desviación estándar. Para definirla, primero hay que conocer la desviación y luego la varianza:

-La desviación d_i  que tiene cada valor medido xi respecto del valor promedio <x> es:

d_i = x_i – <x>

Si se calculase el promedio de las desviaciones se obtendría sistemáticamente <d>=0, ya que: 

<d> = (d₁ + d₂ + d₃ + ……+d_n) /n =

=[(x₁ – <x>) + (x₂ – <x>) + …+(x_n – <x>)]/n

<d> = (x₁+ x₂ + …+ x_n)/n – n <x> / n = <x> – <x> = 0

-El promedio de las desviaciones no es útil para conocer la dispersión de las medidas. En cambio, el valor promedio del cuadrado de las desviaciones o varianza, denotado por σ², sí lo es.

Se calcula de acuerdo a la siguiente fórmula:

σ² = ( d₁² + d₂² + ….+ d_n² ) / (n -1)

En estadística esta cantidad se denomina varianza.  

Y a la raíz cuadrada de la varianza se conoce con el nombre de desviación estándar σ:

σ = √[( d₁² + d₂² + ….+ d_n² ) / (n -1)] 

La desviación estándar σ nos indica que:

1. 68% de las mediciones realizadas están comprendidas en el intervalo [<x> – σ , <x> + σ]. 

2. 95% de las mediciones está en el intervalo [<x> – 2σ , <x> + 2σ].

3. 99,7% de las medidas tomadas están en el rango [<x> – 3σ , <x> + 3σ].

¿Cómo calcular el error aleatorio?

El resultado de la medición es el valor medio de las n mediciones que se denota por <x> y se calcula de acuerdo a la siguiente fórmula:

<x> = (∑x_i) / n

Sin embargo, <x> no es el valor “exacto” de la medición, ya que <x> está afectada por el error aleatorio ε, el cual se calcula así:

ε = σ / √n

Donde:

σ = √[( ∑(xi – <x>)² ) / (n -1)]

El resultado final de la medición debe reportarse de alguna de las siguientes formas:

• <x> ± σ / √n = <x> ± ε con un nivel de confianza de 68%.
• <x> ± 2σ / √n = <x> ± 2ε con un nivel de confianza de 95%.
• <x> ± 3σ / √n = <x> ± 3ε con un nivel de confianza de 99,7%.

El error aleatorio afecta la última cifra significativa de la medición, la cual coincide por lo general con la apreciación del instrumento de medición. Sin embargo, si el error aleatorio es muy grande pueden verse afectadas de variación los dos últimos dígitos significativos.

Ejemplos de error aleatorio

Los errores aleatorios pueden aparecer en diversos casos en los que se realiza una medida:

• Midiendo una longitud con una cinta métrica o regla. Cuando se mide una longitud con una regla o una cinta métrica y las lecturas caen entre las marcas de la escala, entonces se estima ese valor intermedio. A veces, la estimación tiene exceso, y otras, defecto, por lo que se está introduciendo error aleatorio en el proceso de medición.
• La rapidez del viento. En la medición de la rapidez del viento pueden haber cambios en la lectura de un instante a otro, debido a la naturaleza cambiante del fenómeno.
• Al leer el volumen en un cilindro graduado. Cuando se lee el volumen con un cilindro graduado, aun tratando de minimizar el error de paralaje, cada vez que se mide, cambia un poco el ángulo de observación del menisco, razón por la cual las medidas quedan afectadas de error aleatorio.
• Cuando se mide la estatura de un niño. Al medir la altura de un niño, sobre todo si es un poco inquieto, hace que pequeños cambios de postura modifiquen ligeramente la lectura.
• Al usar la báscula de baño. Cuando queremos medir nuestro peso con una báscula de baño, un pequeño cambio en el punto de apoyo, incluso un cambio de postura, puede afectar aleatoriamente la medición.

Ejercicio resuelto

Se deja rodar un cochecito de juguete por una pista recta e inclinada y se mide con un cronómetro el tiempo que le toma recorrer toda la pista. 

La medición se realiza 11 veces, con el cuidado de soltar el carrito siempre desde el mismo lugar, sin darle ningún impulso y manteniendo fija la inclinación.

El conjunto de resultados obtenidos es:

{3,12s 3,09s 3,04s 3,04s 3,10s 3,08s 3,05s 3,10s 3,11s 3,06s, 3,03s}

¿Cuál es el error aleatorio de las medidas?

Solución

Como se puede ver, los resultados obtenidos no son únicos y varían ligeramente.

Lo primero es calcular el valor promedio del tiempo de descenso, obteniéndose 3,074545455 segundos.

No tiene sentido mantener tantos decimales, puesto que cada medición tiene tres cifras significativas y el segundo decimal de cada medida es incierto, ya que está en el límite de apreciación del cronómetro, por lo tanto, se redondea el resultado a dos decimales:

<t> = 3,08 s.

Con la calculadora en modo estadístico, la desviación estándar es σ = 0,03 s y el error estándar es σ / √11 = 0,01 s. El resultado final se expresa así:

Tiempo de descenso 

3,08 s ± 0,01s (Con un nivel de confianza del 68%)

3,08 s ± 0,02s (Con un nivel de confianza del 95%)

3,08 s ± 0,03s (Con un nivel de confianza del 99,7%)

Referencias

1. Canavos, G. Probabilidad y Estadística: Aplicaciones y métodos. McGraw Hill.
2. Devore, J. Probability and Statistics for Engineering and Science. 8th. Edition. Cengage.
3. Helmenstine A. Random error vs. systematic error. Recuperado de thoughtco.com.
4. Laredo, E. Errores en la media. Recuperado de usb.ve.
5. Levin, R. Estadística para Administradores. 2da. Edición. Prentice Hall.