Números amigos o amigables: ejemplos y cómo encontrarlos

Los números amigos o amigables son dos números naturales a y b cuya suma de los divisores de uno de ellos (sin incluir al número) es igual al otro número, y la suma de los divisores de este otro (no incluyéndolo tampoco) es igual al primer número.

Se han encontrado muchas parejas de números que comparten esta curiosa propiedad. No son números demasiado pequeños, los menores son 220 y 284, descubiertos hace ya varios siglos. Así que vamos a ponerlos como ejemplo de lo que significa esta peculiar amistad entre números.

Los divisores de 220, sin incluir al 220, son: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110. Por su parte los divisores de 284, sin incluir al 284 son: 1, 2, 4, 71 y 142.

Ahora sumamos los divisores del primer número, que es 220:

D₁ = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284

Observamos que en efecto, la suma es 284, el número amigo.

Seguidamente se suman los divisores de 284:

D₂ = 1+2+4+71+142 = 220

Y se obtiene el primer integrante de la pareja.

Los antiguos matemáticos griegos de la escuela pitagórica, fundada por Pitágoras (569-475 a.C.), el autor del célebre teorema del mismo nombre, lograron descubrir esta peculiar relación entre estos dos números, a los cuales atribuyeron muchas cualidades místicas.

También los conocían los matemáticos islámicos de la Edad Media, quienes lograron determinar una fórmula general para encontrar números amigos cerca del año 850 de nuestra era.

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Fórmula para encontrar números amigos

El matemático islámico Thabit Ibn Qurra (826-901) encontró una forma de generar algunos números amigos. Sean p, q y r tres números primos, es decir, números que solamente admiten al 1 y a sí mismos como divisores.

Al cumplirse lo siguiente:

p = 3.2^n-1 – 1

q = 3.2ⁿ – 1

r = 9.2^2n-1 – 1

Con n un número mayor que 1, entonces:

a = 2ⁿpq y b = 2ⁿr 

Conforman una pareja de números amigos. Vamos a probar la fórmula para n = 2 y ver qué pareja de números amigos genera:

p = 3.2^2-1 – 1= 3. 2 – 1 = 5

q = 3.2² – 1= 11

r = 9.2^2.2-1 – 1= 71

Entonces:

a = 2ⁿpq = 2². 5. 11 = 220

b = 2ⁿr = 2². 71 = 284

La fórmula del matemático medieval funciona para n = 2, ya que estos son precisamente los primeros números amigos, de los cuales se hablaba al comienzo y que ya eran conocidos durante la Edad Media.

Sin embargo, el teorema no funciona para todos los números amigos encontrados hasta ahora, únicamente para n = 2, n= 4 y n = 7.

Siglos después, el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) dedujo una nueva regla para encontrar números amigables, basándose en la de Thabit Ibn Qurra:

p = (2^n-m + 1). 2^m – 1

q = (2^n-m + 1). 2ⁿ – 1

r = (2^n-m + 1)². 2^m+n  – 1

Como siempre, los números p, q y r son primos, pero ahora hay dos exponentes enteros: m y n, de los cuales m debe cumplir la siguiente condición:

1 ≤ m ≤ n-1

La pareja de números amigos se forma del mismo modo:

a = 2ⁿpq 

b = 2ⁿr 

Si m = n-1 se obtiene de nuevo el teorema de Thabit, pero al igual que sucede con el teorema del matemático islámico, no todos los números amigables satisfacen la regla de Euler. No obstante, con ella aumentó la cantidad de números amigables conocidos hasta entonces.

Aquí están los primeros pares de exponentes (m,n) con los cuales encontrar algunos números amigables:

(1,2), (3,4), (6,7), (1,8) y (29,40)

Más adelante, en la sección de ejercicios, encontraremos la pareja de números amigables que se forma gracias a los exponentes (3,4) de la regla de Euler.

Ejemplos de números amigos

-220 y 284

-1184 y 1210

-2620 y 2924

-5020 y 5564

-6232 y 6368

-10.744 y 10.856

-12.285 y 14.595

-17.296 y 18.416

Desde luego, por computadora se pueden generar muchísimas más parejas de números amigables.

Cómo descomponer un número y encontrar sus divisores

Vamos a ver ahora cómo encontrar los divisores de un número, para corroborar si son amigos. Según la definición de números amigables, se necesitan todos los divisores de cada participante para poder sumarlos, excepto los propios números.

Ahora bien, los números naturales se pueden dividir en dos grupos: los números primos y los números compuestos.

Los números primos solamente admiten como divisores exactos al 1 y a sí mismos. Y los números compuestos por su parte, siempre se pueden expresar como el producto de números primos y poseen otros divisores, aparte del 1 y de ellos mismos.

Un número compuesto cualquiera N, como 220 o 284, se puede expresar de esta forma:

N = aⁿ . b^m. c^p … r^k

Donde a, b, c … r son números primos y n, m, p… k son exponentes pertenecientes a los números naturales, que pueden valer desde 1 en adelante.

En términos de estos exponentes, hay una fórmula para conocer cuántos (pero no cuáles) divisores tiene el número N. Sea C esta cantidad:

C = (n +1) (m+1) (p +1)… (k+1)

Una vez que se expresa el número N en términos de productos de números primos y se conoce cuántos divisores tiene, ya se tienen las herramientas para saber cuáles son sus divisores, tanto primos como no primos. Y es que se necesita conocerlos a todos para comprobar si son amigos, salvo el último, que es el número mismo.

Ejercicios resueltos

– Ejercicio 1

Encontrar todos los divisores de la pareja de números amigos 220 y 284.

Solución

Primero encontremos los divisores primos de 220, que es un número compuesto:

220 │2
110 │2
55  │5
11  │11
1    │

La descomposición en factores primos del 220 es:

220 = 2 x 2 x 5 x 11= 2².5. 11

Por lo tanto n = 2, m = 1, p = 1 y posee:

C = (2+1). (1+1). (1+1) = 12 divisores

Los primeros divisores que se advierten de la descomposición del número son: 1, 2, 4, 5 y 11. Y están también 110 y 55.

Faltarían 5 de ellos, que se encuentran haciendo productos entre los primos y sus combinaciones: 2².5 = 20;  2².11 = 44;  2. 11 = 22 y finalmente el 1 y el propio 220.

Se sigue un procedimiento análogo para el 284:

284 │2
142 │2
71 │71
1 │

284 = 2². 71

C = (2+1). (1+1) = 3 x 2 = 6 divisores

Estos divisores son: 1, 2, 4, 71, 142 y 284, tal como se dijo al principio.

– Ejercicio 2

Comprobar la fórmula de Euler para n = 4 y m = 3 genera la terna de números primos (p,q,r) = (23,47, 1151). ¿Cuál es la pareja de números amigos formada con ellos?

Solución

Los números primos p, q y r se calculan mediante:

p = (2^n-m + 1). 2^m – 1

q = (2^n-m + 1). 2ⁿ – 1

r = (2^n-m + 1)². 2^m+n  – 1

Sustituyendo los valores de m= 3 y n = 4 se obtiene:

p = (2^4-3 + 1). 2³ – 1= 23

q = (2^4-3 + 1). 2⁴ – 1 = 47

r = (2^4-3 + 1)². 2⁴⁺³  – 1 = 1151

Ahora se aplica la fórmula para hallar la pareja de números amigos a y b:

a = 2ⁿpq 

b = 2ⁿr 

a = 2ⁿpq = 16. 23. 47= 17.296

b = 2ⁿr = 16. 1151 = 18.416

Y en efecto, se encuentran entre la lista de las primeras parejas de números amigos que mostramos con anterioridad.

Referencias

1. Baldor, A. 1986. Aritmética. Ediciones y Distribuciones Códice.
2. Todo sobre números primos. Números amigos. Recuperado de: numerosprimos.org.
3. Wolfram MathWorld. Euler’s Rule. Recuperado de: mathworld.wolfram.com.
4. Wikipedia. Amicable numbers. Recuperado de: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Números amigos. Recuperado de: es.wikipedia.org.