Paraboloide hiperbólico

¿Qué es un paraboloide hiperbólico?

Un paraboloide hiperbólico es una superficie tridimensional cuya ecuación general en coordenadas cartesianas (x, y, z) cumple la siguiente ecuación:

(x/a)² – (y/b)² – z = 0.

La denominación “paraboloide” proviene del hecho de que la variable z depende de los cuadrados de las variables x e y. Mientras que el adjetivo “hiperbólico” se debe a que a valores fijos de z se tiene la ecuación de una hipérbola. La forma de esta superficie es similar a la de una silla de montar a caballo.

Descripción del paraboloide hiperbólico

Para entender la naturaleza del paraboloide hiperbólico se hará el siguiente análisis:

1. Se tomará el caso particular a=1, b=1, es decir, que la ecuación cartesiana del paraboloide queda como z = x² – y².

2. Se consideran planos paralelos al plano ZX, es decir, y=ctte.

3. Con y=ctte queda z = x² – C, lo cual representan parábolas con las ramas hacia arriba y vértice por debajo del plano XY.

4. Con x=ctte queda z = C – y², lo cual representan parábolas con las ramas hacia abajo y vértice por encima del plano XY.

5. Con z=ctte queda C = x² – y², lo cual representan hipérbolas en planos paralelos al plano XY. Cuando C=0 se tienen dos rectas (a +45º y -45º respecto del eje X) que se interceptan en el origen sobre el plano XY.

Propiedades del paraboloide hiperbólico

1. Cuatro puntos diferentes en el espacio tridimensional definen uno y solo un paraboloide hiperbólico.

2. El paraboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada. Esto significa que a pesar de ser una superficie curvada, por cada punto de un paraboloide hiperbólico pasan dos rectas distintas que pertenecen totalmente al paraboloide hiperbólico. La otra superficie que no es un plano y es doblemente reglada es el hiperboloide de revolución.

Es precisamente la segunda propiedad del paraboloide hiperbólico la que ha permitido un amplio uso de la misma en arquitectura, ya que la superficie puede generarse a partir de vigas o cuerdas rectas.

La segunda propiedad del paraboloide hiperbólico permite una definición alternativa del mismo: es la superficie que puede ser generada mediante una línea recta móvil paralela a un plano fijo y corta dos líneas fijas que le sirven de guía. La siguiente figura aclara esta definición alterna del paraboloide hiperbólico:

Ejemplos resueltos de paraboloide hiperbólico

Ejemplo 1

Demostrar que la ecuación: z = xy, corresponde a un paraboloide hiperbólico.

Solución

Se aplicará una transformación en las variables x e y correspondiente a una rotación de los ejes cartesianos respecto del eje Z de +45º. Las viejas coordenadas x e y se transforman a las nuevas x’ e y’ según las siguientes relaciones:

x = x’ – y’

y = x’ + y’

mientras la coordenada z permanece igual, es decir z = z’.

Al sustituir en la ecuación z = x y nos queda:

z’ = (x’ – y’)(x’ + y’)

Al aplicar el producto notable de la diferencia por la suma igual a la diferencia de cuadrados se tiene:

z’ = x’² – y’²

que claramente corresponde a la definición dada inicialmente de paraboloide hiperbólico.

La intercepción de los planos paralelos al eje XY con el paraboloide hiperbólico z = x y determinan hipérbolas equiláteras que tienen como asíntotas los planos x=0 e y=0.

Ejemplo 2

Determinar los parámetros a y b del paraboloide hiperbólico que pasa por los puntos A(0, 0, 0); B(1, 1, 5/9); C(-2, 1, 32/9) y D(2, -1, 32/9).

Solución

De acuerdo a sus propiedades, cuatro puntos en el espacio tridimensional determinan un único paraboloide hiperbólico. La ecuación general es:

z = (x/a)² – (y/b)²

Sustituimos los valores dados:

Para el punto A se tiene 0 = (0/a)² – (0/b)², ecuación que se satisface cualquiera sean los valores de los parámetros a y b.

Sustituyendo el punto B se obtiene:

5/9 = 1/a² – 1/b²

Mientras que para el punto C queda:

32/9 = 4/a² – 1/b²

Por último, para el punto D se obtiene:

32/9 = 4/a² – 1/b²

Que es idéntica a la ecuación anterior. En definitiva debe resolverse el sistema de ecuaciones:

5/9 = 1/a² – 1/b²

32/9 = 4/a² – 1/b²

Restando la segunda ecuación de la primera se obtiene:

27/9 = 3/a² lo que implica que a² = 1.

En forma similar se resta la segunda ecuación del cuádruple de la primera, obteniéndose:

(32-20)/9 = 4/a² – 4/a² -1/b² + 4/b²

Que se simplifica como:

12/9 = 3/b² ⇒ b² = 9/4.

En definitiva el paraboloide hiperbólico que pasa por los puntos A, B, C y D dados tiene ecuación cartesiana dada por:

z = x² – (4/9)y²

Ejemplo 3

De acuerdo a las propiedades del paraboloide hiperbólico, por cada punto del mismo pasan dos rectas que están completamente contenidas en él. Para el caso z = x^2 – y^2 encuentre la ecuación de las dos rectas que pasan por el punto P(0, 1, -1) claramente perteneciente al paraboloide hiperbólico, tal que todos los puntos de dichas rectas también pertenezcan al mismo.

Solución

Usando el producto notable de la diferencia de cuadrados la ecuación del paraboloide hiperbólico puede ser escrita así:

(x + y)(x – y) = c z (1/c)

Donde c es una constante no nula.

La ecuación x + y = c z, y la ecuación x – y = 1/c corresponden a dos planos con vectores normales n=<1,1,-c> y m=<1,-1,0>. El producto vectorial m x n =<-c, -c, -2> nos da la dirección de la recta intersección de los dos planos. Entonces una de las rectas que pasa por el punto P y pertenece al paraboloide hiperbólico tiene ecuación paramétrica:

<x, y, z> = <0, 1, -1> + t <-c, -c, -2>

Para determinar c sustituimos el punto P en la ecuación x + y = c z, obteniéndose:

c=-1

En forma similar, pero considerando las ecuaciones (x – y = k z) y (x + y = 1/k) se tiene la ecuación paramétrica de la recta:

<x, y, z> = <0, 1, -1> + s <k, -k, 2> con k=1.

En resumen, las dos rectas:

<x, y, z> = <0, 1, -1> + t <1, 1, -2> y <x, y, z> = <0, 1, -1> + s <1, -1, 2>

Están completamente contenidas en el paraboloide hiperbólico z = x² – y² pasando por el punto (0, 1, -1).

Como comprobación supongamos t=1 lo que nos da el punto (1,2,-3) sobre la primera recta. Hay que comprobar si también está sobre el paraboloide z = x² – y²:

-3 = 1² – 2² = 1 – 4 = -3

Lo que confirma que en efecto, pertenece a la superficie del paraboloide hiperbólico.

El paraboloide hiperbólico en arquitectura

El paraboloide hiperbólico ha sido usado en arquitectura por los grandes arquitectos de vanguardia, entre los que destacan los nombres del arquitecto español Antoni Gaudí (1852-1926) y muy particularmente el también español Félix Candela (1910-1997).

A continuación se muestran algunas obras basadas en el paraboloide hiperbólico:

-Capilla de la ciudad de Cuernavaca (México) obra del arquitecto Félix Candela.

-El oceanográfico de Valencia (España), también de Félix Candela.

Referencias

1. Ruled Surface. Recuperado de encyclopediaofmath.org.
2. Llera, R. Paraboloide hiperbólico. Recuperado de rubenllera.wordpress.com.
3. Weisstein, E.W. “Hyperbolic Paraboloid”. Recuperado de mathworld.wolfram.com.
4. Paraboloid. Recuperado de en.wikipedia.com.
5. Paraboloide. Recuperado de es.wikipedia.com.