Suma de polinomios

¿Qué es la suma de polinomios?

La suma de polinomios es una operación matemática que consiste en adicionar dos o más polinomios, dando como resultado otro polinomio. Para llevarla a cabo es preciso sumar los términos del mismo orden de cada uno de los polinomios e indicar la suma resultante.

Primero repasemos brevemente el significado de “términos del mismo orden”. Un polinomio cualquiera se compone de sumas y/o restas de términos.

Los términos pueden ser productos de números reales y una o más variables, representadas con letras, por ejemplo: 3x² y -√5.a²bc³ son términos.

Pues bien, los términos del mismo orden son aquellos que tienen el mismo exponente o potencia, aunque pueden tener distinto coeficiente.

-Términos de igual orden son: 5x³, √2x³ y -1/2x³

-Términos de órdenes diferentes: -2x^-2, 2xy^-1 y √6x²y

Es importante tener presente que solamente los términos del mismo orden se pueden sumar o restar, operación que se conoce como reducción. En caso contrario, la suma simplemente se deja indicada.

Una vez aclarado el concepto de términos del mismo orden, los polinomios se suman siguiendo estos pasos:

–Ordenar primero los polinomios a sumar, todos de la misma manera, ya sea de forma creciente o decreciente, es decir, con las potencias de menor a mayor o viceversa.

–Completar, en caso de que falte alguna potencia en la secuencia.

–Reducir los términos semejantes.

–Indicar la suma resultante.

Ejemplos de suma de polinomios

Comenzaremos sumando dos polinomios con una sola variable llamada x, por ejemplo, los polinomios P(x) y Q(x) dados por:

P (x) = 2x² – 5x⁴ + 2x –x⁵ – 3x³ + 12

Q(x) = x⁵– 25x + x²

Siguiendo los pasos descritos, se comienza por ordenarlos en forma decreciente, que es la manera más usual:

P (x) = –x⁵– 5x⁴  – 3x³  + 2x² + 2x + 12

Q(x) = x⁵+ x² – 25x

El polinomio Q(x) no está completo, se ve que faltan potencias con exponente 4, 3 y 0. Esta última es simplemente el término independiente, el que no tiene letra.

Q(x) = x⁵+ 0x⁴ + 0x³ + x² – 25x + 0

Una vez realizado este paso, ya están listos para sumar. Se pueden ir sumando los términos semejantes y luego indicar la suma, o bien colocar los polinomios ordenados uno debajo del otro y reducir por columnas, de esta forma:

– x⁵ – 5x⁴  – 3x³ + 2x² + 2x +12

+ x⁵ + 0x⁴ + 0x³  +  x²  – 25x + 0     +

———————————————————-

0x⁵–5x⁴ – 3x³  +3x² – 23x + 12 = P (x) + Q (x)

Es importante notar que cuando se suma, se hace de forma algebraica respetando la regla de los signos, de esta manera 2x + (-25 x) = -23x. Es decir, si los coeficientes tienen distinto signo, se restan, y el resultado lleva el signo del mayor.

Sumar dos o más polinomios con más de una variable

Cuando se trata de polinomios con más de una variable, se elige una de ellas para ordenarlo. Por ejemplo, supongamos que se pide sumar:

R (x,y) = 5x²  – 4y² +  8xy – 6y³ 

Y:

T (x,y) = ½ x²– 6y²  – 11xy + x³y

Se escoge una de las variables, por ejemplo, la x para ordenar:

R (x,y) = 5x² +  8xy – 6y³  – 4y²

T (x,y) = + x³y + ½ x² – 11xy – 6y² 

De inmediato se completan los términos faltantes, de acuerdo a los que cada polinomio tiene:

R (x,y)  =   0x³y + 5x² +  8xy – 6y³  – 4y²

T (x,y) = + x³y + ½ x² – 11xy + 0y³ – 6y² 

Y ya ambos están listos para reducir los términos semejantes:

0x³y + 5x² +  8xy – 6y³  – 4y²

+ x³y + ½ x² – 11xy + 0y³ – 6y²       +

—————————————————————–

+ x³y + 11/2x² – 3xy – 6y³  – 10y²    = R(x,y) + T(x,y)

Ejercicios de suma de polinomios

Ejercicio 1

En la siguiente suma de polinomios, indicar el término que debe ir en el espacio en blanco para obtener el polinomio suma:

-5x⁴  + 0x³ +  2x²         + 1

x⁵  + 2x⁴             – 21x² + 8x – 3

2x⁵             +9x³             -14x

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-6x⁵+10x⁴ -0x³  + 5x²   – 11x  + 21

Solución

Para obtener -6x⁵ se requiere un término de la forma ax⁵, tal que:

a + 1+ 2 = -6

Por lo tanto:

a = -6-1-2 = -9

Y el término buscado es:

-9x⁵

-Se procede de manera similar para encontrar el resto de los términos. Aquí está el de exponente 4:

-5 + 2 + a = 10 → a = 10+5-2 = 13

El término faltante es: 13x⁴.

-Para las potencias de x³ es inmediato que el término debe ser -9x³, de esta manera el coeficiente del término cúbico es 0.

-En cuanto a las potencias al cuadrado: a + 8 – 14 = -11 → a = -11 – 8 + 14 = -5 y el término es -5x².

-El término lineal se obtiene mediante a +8 -14 = -11 → a = -11 + 14 – 8 = -5, siendo el término faltante -5x.

-Por último el término independiente es: 1 -3 + a = -21 → a = -19.

Ejercicio 2

Un terreno plano está cercado como se muestra en la figura. Hallar una expresión para:

a) El perímetro y

b) Su área, en términos de las longitudes señaladas:

Solución a

El perímetro se define como la suma de los lados y contornos de la figura. Comenzando en la esquina inferior izquierda, en el sentido de las manecillas del reloj, se tiene:

Perímetro = y + x + longitud de la semicircunferencia + z + longitud de la diagonal + z + z + x

La semicircunferencia tiene diámetro igual a x. Como el radio es la mitad del diámetro, se tiene que:

Radio= x/2.

La fórmula para la longitud de una circunferencia completa es:

L = 2π x Radio

Entonces:

Longitud de la semicircunferencia = ½. 2π (x/2) =πx/2

Por su parte la diagonal se calcula con el teorema de Pitágoras aplicado a los lados: (x+y) que es lado vertical y z, que es el horizontal:

Diagonal = [(x+y)² + z²]^1/2

Se sustituyen estas expresiones en la del perímetro, para obtener:

Perímetro = y + x + πx/2 + z + [(x+y)² + z²]^1/2+ z + x + z

Se reducen los términos semejantes, ya que la suma requiere que el resultado se simplifique al máximo:

Perímetro = y + [x +  π (x/2) + x] + z + z + z + [(x+y)² + z²]^1/2 = y + (2 + π /2)x + 3z

Solución b

El área resultante es la suma del área del rectángulo, el semicírculo y el triángulo rectángulo. Las fórmulas para dichas áreas son:

–Rectángulo: base x altura

–Semicírculo: ½ π (Radio)²

–Triángulo: base x altura /2

Área del rectángulo

(x+y). (x+z) = x² + xz +yx + yz

Área del semicírculo

½ π (x/2)² = π x² / 8

Área del triángulo

½ z(x+y) = ½ zx + ½ zy

Área total

Para encontrar el área total se suman las expresiones encontradas para cada área parcial:

Área total = x² + xz +yx + yz + (π x² / 8) + ½ zx + ½ zy

Y finalmente se reducen todos los términos que sean semejantes:

Área total = (1 + π/8) x² + 3/2 xy + 3/2yz + yx

Referencias

1. Baldor, A. Álgebra. Editorial Cultural Venezolana S.A.
2. Jiménez, R. Álgebra. Prentice Hall.
3. Adding and subtracting polynomials. Recuperado de mathsisfun.com.
4. Sumando y restando polinomios. Recuperado de montereyinstitute.org.
5. Algebra of polynomials. Recuperado de math.berkeley.edu.