¿Qué es la simetría axial?
La simetría axial es la simetría que se da cuando una figura se divide en dos mitades idénticas por una línea recta denominada eje de simetría. También se llama simetría radial, rotacional o cilíndrica.
Suele aplicarse en figuras geométricas, pero es fácilmente observable en la naturaleza, ya que hay animales, como mariposas, escorpiones, mariquitas o propiamente los humanos, que presentan simetría axial.
Cómo encontrar el simétrico axial
Para encontrar el simétrico axial P’ de un punto P respecto de una recta (L) se realizan las siguientes operaciones geométricas:
1. Se traza la perpendicular a la recta (L) que pasa por el punto P.
2. La intercepción de las dos rectas determina un punto O.
3. Se mide la longitud del segmento PO, luego se copia esta longitud sobre la recta (PO) partiendo de O en la dirección de P a O determinando el punto P’.
4. El punto P’ es el simétrico axial del punto P respecto del eje (L), ya que la recta (L) es mediatriz del segmento PP’ siendo O el punto medio de dicho segmento.
Características de la simetría axial
– Eje de simetría. Es una línea imaginaria que divide la figura en dos partes iguales y opuestas, llamadas imágenes especulares. Ejemplo: En una mariposa, el eje de simetría pasa por el centro de su cuerpo.
– Reflexión o espejo. Cada punto de la figura original tiene un punto simétrico al otro lado del eje, a la misma distancia, pero en dirección contraria. Es como si la figura se reflejara en un espejo colocado sobre el eje.
– Forma y tamaño iguales. La figura original y su imagen simétrica tienen igual forma y tamaño (congruentes).
No cambia la medida de los lados ni los ángulos.
– Cambio de orientación. Aunque las figuras son iguales, su orientación cambia: la imagen se ve “invertida”, como cuando se ve el reflejo en un espejo.
– Aplicación. La simetría axial aparece en geometría, arte, naturaleza y arquitectura, por ejemplo: en hojas, animales, letras (como la “A” o la “M”), y construcciones simétricas.
Propiedades de la simetría axial
- Distancia conservada. La distancia entre dos puntos y la distancia entre sus imágenes es la misma.
Es una isometría (no altera longitudes). - Ángulos conservados. Los ángulos entre lados o segmentos se mantienen iguales después de la reflexión.
- Puntos del eje invariables. Los puntos que están sobre el eje de simetría no cambian de posición (se reflejan sobre sí mismos).
- La perpendicularidad se conserva. Si un segmento es perpendicular al eje antes de la reflexión, su imagen también lo será.
- No cambia el tamaño, pero sí la orientación. Es una transformación directa en tamaño pero inversa en sentido (izquierda ↔ derecha).
Ejemplos de simetría axial
La naturaleza exhibe abundantes ejemplos de simetría axial. Por ejemplo, se puede observar la simetría de los rostros, de los insectos como las mariposas, el reflejo sobre superficies de aguas tranquilas y espejos o las hojas de las plantas, entre muchos otros.
Ejercicios de simetría axial
Ejercicio 1
Se tiene el triángulo de vértices A, B y C cuyas coordenadas cartesianas son respectivamente A=(2, 5), B=(1, 1) y C=(3,3). Hallar las coordenadas cartesianas del triángulo simétrico respecto al eje Y (eje de las ordenadas).
Solución: Si un punto P tiene coordenadas (x, y) entonces su simétrico respecto del eje de las ordenadas (eje Y) es P’=(-x, y). Es decir, que el valor de su abscisa cambia de signo, mientras que el valor de la ordenada permanece igual.
En este caso, el triángulo simétrico de vértices A’, B’ y C’ tendrá coordenadas:
A’=(-2, 5); B’=(-1, 1) y C’=(-3, 3) como puede comprobarse en la siguiente figura.
Ejercicio 2
En referencia al triángulo ABC y su simétrico A’B’C’ del ejercicio 1, comprobar que los lados correspondientes del triángulo original y su simétrico tienen la misma longitud.
Solución: Para hallar la distancia o longitud de los lados usamos la fórmula de la distancia euclidiana:
d(A, B) = √( (Bx – Ax)^2 + (By – Ay)^2 ) = √((1-2)^2 + (1-5)^2 ) = √((-1)^2 + (-4)^2 ) = √(17) = 4,123
A continuación se calcula la longitud del lado simétrico correspondiente A’B’:
d(A’,B’) = √( (Bx’-Ax’)^2 + (By’-Ay’)^2 ) = √((-1+2)^2 +(1-5)^2 ) = √((1)^2 + (-4)^2 ) = √(17) = 4,123
De esta forma, se comprueba que la simetría axial preserva la distancia entre dos puntos. Puede repetirse el procedimiento para los otros dos lados del triángulo y su simétrico para comprobar la invarianza en la longitud. Por ejemplo |AC| = |A’C’| = √5 = 2,236.
Ejercicio 3
En relación con el triángulo ABC y su simétrico A’B’C’ del ejercicio 1, compruebe que los ángulos correspondientes del triángulo original y su simétrico tienen la misma medida angular.
Solución: Para determinar las medidas de los ángulos BAC y B’A’C’ se calculará en primer lugar el producto escalar de los vectores AB con AC y luego el producto escalar de A’B’ con A’C’.
Recordando que:
A=(2, 5), B=(1, 1) y C=(3,3)
A’=(-2, 5); B’=(-1, 1) y C’=(-3, 3).
Se tiene:
AB = <1-2, 1-5> y AC = <3-2, 3-5>
similarmente
A’B’ = <-1+2, 1-5> y AC = <-3+2, 3-5>
Luego se hallan los siguientes productos escalares:
AB⋅AC = <-1, -4>⋅<1, -2> = -1⋅1 + (-4)⋅(-2) = -1 + 8 = 7
Similarmente
A’B’⋅A’C’ = <1, -4>⋅<-1, -2> = 1⋅(-1) + (-4)⋅(-2) = -1 + 8 = 7
La medida del ángulo BAC es:
∡BAC = ArcCos( AB⋅AC / (|AB|⋅|AC|)) =
ArcCos( 7 / (4,123⋅2,236))= 40,6º
Similarmente, la medida del ángulo B’A’C’ es:
∡B’A’C’ = ArcCos( A’B’⋅A’C’ / (|A’B’|⋅|A’C’|)) =
ArcCos( 7 / (4,123⋅2,236))= 40,6º
Concluyendo que la simetría axial preserva la medida de los ángulos.
Ejercicio 4
Sea un punto P de coordenadas (a, b). Hallar las coordenadas de su simétrico axial P’ respecto de la recta y=x.
Solución: Llamaremos (a’, b’) a las coordenadas del punto simétrico P’ respecto a la recta y=x. El punto medio M del segmento PP’ tiene coordenadas ( (a+a’)/2, (b+b’)/2 ) y además está sobre la recta y=x, por lo que se cumple la siguiente igualdad:
a + a’ = b + b’
Por otra parte, el segmento PP’ tiene pendiente -1 por ser perpendicular a la recta y=x de pendiente 1, por lo que se cumple la siguiente igualdad:
b – b’ = a’ -a
Despejando de las dos igualdades anteriores a’ y b’ se concluye que:
a’ = b y que b’ = a.
Es decir, dado un punto P(a, b), su simétrico axial respecto de la recta y = x es P’(b, a).
Referencias
- Arce, M., Blázquez, S. Transformaciones del plano. Recuperado de educutmxli.files.wordpress.com.
- Simetría axial. Recuperado de calculo.cc.com.
- Simetría axial. Recuperado de superprof.es.
- Simetría axial. Recuperado de es.wikipedia.org.
- Circular Symmetry. Recuperado de en.wikipedia.org.