La descomposición de números naturales se pueden dar de distintas formas: como producto de factores primos, como suma de potencias de dos y descomposición aditiva. A continuación se explicarán detalladamente.
Una propiedad útil que tienen las potencias de dos es que con ellas se puede convertir un número del sistema decimal a un número del sistema binario. Por ejemplo, 7 (número en el sistema decimal) es equivalente al número 111, ya que 7=(2^2) + (2^1) + (2^0).
Los números naturales son los números con los que se puede contar y enumerar objetos. En la mayoría de los casos, se considera que los números naturales empiezan desde 1. Estos números son enseñados en la escuela y son útiles en casi todas las actividades de la vida cotidiana.
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Formas de descomponer números naturales
Como se mencionó antes, a continuación se presentarán tres maneras diferentes de descomponer los números naturales.
Descomposición como producto de factores primos
Todo número natural se puede expresar como producto de números primos. Si el número ya es primo, su descomposición es él mismo multiplicado por uno.
Si no, se divide entre el menor número primo por el que sea divisible (puede ser una o varias veces), hasta obtener un número primo.
Por ejemplo:
5 = 5*1.
15 = 3*5.
28 = 2*2*7.
624 = 2*312 = 2*2*156 = 2*2*2*78 = 2*2*2*2*39 = 2*2*2*2*3*13.
175 = 5*35 = 5*5*7.
Descomposición como suma de potencias de 2
Otra propiedad interesante es que cualquier número natural se puede expresar como suma de potencias de 2. Por ejemplo:
1 = 2^0.
2 = 2^1.
3 = 2^1 + 2^0.
4 = 2^2.
5 = 2^2 + 2^0.
6 = 2^2 + 2^1.
7 = 2^2 + 2^1 + 2^0.
8 = 2^3.
15 = 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0.
Descomposición aditiva
Otra manera de descomponer los números naturales es considerando su sistema de numeración decimal y el valor posicional de cada cifra.
Esto se obtiene considerando las cifras de derecha a izquierda y comenzando con unidad, decena, centena, unidad de mil, decena de mil, centena de mil, unidad de millón, etc. Esta unidad se multiplica por el sistema de numeración correspondiente.
Por ejemplo:
239 = 2*100 + 3*10 + 9*1 = 200 + 30 + 9.
4893 = 4*1000 + 8*100 + 9*10 + 3*1.
Ejercicios y soluciones
Considere el número 865236. Halle su descomposición en producto de números primos, en suma de potencias de 2 y su descomposición aditiva.
Descomposición en producto de números primos
-Como 865236 es par, se estar seguro de que el menor primo por el que es divisible es 2.
-Dividiendo entre 2 se obtiene: 865236=2*432618. De nuevo se obtiene un número par.
-Se sigue dividiendo hasta que se obtenga un número impar. Luego: 865236=2*432618=2*2*216309.
-El último número es impar, pero es divisible por 3 ya que la suma de sus dígitos lo es.
-Así, 865236=2*432618=2*2*216309=2*2*3*72103. El número 72103 es primo.
-Por lo tanto la descomposición deseada es la última.
Descomposición en suma de potencias de 2
-Se busca la mayor potencia de 2 que se aproxime más a 865236.
-Esta es 2^19 = 524288. Ahora se repite lo mismo para la diferencia 865236 – 524288 = 340948.
-La potencia más cercana en este caso es 2^18 = 262144. Se sigue ahora con 340948-262144 = 78804.
-En este caso la potencia más cercana es 2^16 = 65536. Continúa 78804 – 65536 = 13268 y se obtiene que la potencia más cercana es 2^13 = 8192.
-Ahora con 13268 – 8192 = 5076 y se obtiene 2^12 = 4096.
-Luego con 5076 – 4096 = 980 y se tiene 2^9 = 512. Se sigue con 980 – 512 = 468, y la potencia más cercana es 2^8 = 256.
-Ahora viene 468 – 256 = 212 con 2^7 = 128.
-Luego, 212 – 128 = 84 con 2^6 = 64.
-Ahora 84 – 64 = 20 con 2^4 = 16.
-Y por último 20 – 16 = 4 con 2^2 = 4.
Finalmente se tiene que:
865236 = 2^19 + 2^18 + 2^16 + 2^13 + 2^12 + 2^9 + 2^8 + 2^7 + 2^6 + 2^4 + 2^2.
Descomposición aditiva
Identificando las unidades se tiene que la unidad corresponde al número 6, la decena a 3, la centena a 2, la unidad de mil a 5, la decena de mil a 6 y la centena de mil a 8.
Luego,
865236 = 8*100.000 + 6*10.000 + 5*1.000 + 2*100 + 3*10 + 6
= 800.000 + 60.000 + 5.000 + 200 + 30 + 6.
Referencias
- Barker, L. (2011). Leveled Texts for Mathematics: Number and Operations. Teacher Created Materials.
- Burton, M., French, C., & Jones, T. (2011). We Use Numbers. Benchmark Education Company.
- Doudna, K. (2010). No One Slumbers When We Use Numbers! ABDO Publishing Company.
- Fernández, J. M. (1996). Chemical Bond Approach project. Reverte.
- Hernández, J. d. (s.f.). Cuaderno de Matemáticas. Umbral.
- Lahora, M. C. (1992). Actividades matemáticas con niños de 0 a 6 años. Narcea Ediciones.
- Marín, E. (1991). Gramática española. Editorial Progreso.
- Tocci, R. J., & Widmer, N. S. (2003). Sistemas digitales: principios y aplicaciones. Pearson Educación.