Números pares

¿Qué son los números pares?

Los números pares son todos aquellos que se pueden dividir exactamente entre 2, por ejemplo 0, 2, 4, 6, 8 10, 12, 14, 16, 18… Entre los números negativos también hay pares: -2, -4, -6, -8, -10…

Si nos fijamos bien en los números que siguen al 8 en la secuencia de los números positivos: 10, 12, 14, 16 y 18, se puede observar que terminan en 0, 2, 4, 6 y 8 respectivamente. Con esto en mente, se pueden construir los siguientes números pares: 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38…

Se concluye que para identificar cualquier par, sin importar que tan grande sea, o si tiene signo negativo, se mira el dígito en el que termina. Si este es 0, 2, 4, 6 u 8, estamos en presencia de un número par. Por ejemplo: 1554, 3578, -105.962 y así.

Debido a que todo número par es divisible exactamente entre 2, podemos obtener un número par a partir de cualquier otro simplemente multiplicando por 2. De esto se sigue que la forma general de cualquier número par es:

2n

Donde n es un entero: …-2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, …

¿Y qué sucede con los números que están entre los pares, como el 3, 5, 7 y más?

Pues son los números impares. De esta forma, a los números enteros se los puede clasificar en estas dos grandes categorías: pares e impares. Esta cualidad de los números se denomina paridad.

Y como vemos de las secuencias numéricas, los pares y los impares están intercalados, es decir, si comenzamos por el 0, que es par, sigue el 1, que es impar, luego el 2 que es par, después el 3 que es impar y así sucesivamente.

Ejemplos de números pares

Siempre que existan cantidades enteras, algunas de ellas pueden ser pares y están presentes en la naturaleza y en numerosas situaciones de la vida real. Si tenemos una cierta cantidad con la que se puedan formar grupos de a dos, esa cantidad es par. Por ejemplo:

-En total los dedos de las manos son 10, que es un número par. También tenemos número par de ojos, brazos, orejas, piernas y pies.

-Los insectos presentan 2 pares de alas casi siempre, es decir, tienen 4 alas en total, además tienen 3 pares de patas, en total 6 patas y 2 antenas.

-Tenemos 2 padres, 4 abuelos, 8 bisabuelos, 16 tatarabuelos y así sucesivamente hacia atrás en el árbol genealógico. Todos estos son números pares.

-Hay flores con número par de pétalos, incluyendo algunas margaritas que tienen hasta 34.

-Un jurado suele estar compuesto por 12 personas.

-Deportes como el tenis, el boxeo, la esgrima, la lucha, el ajedrez se juegan entre 2 personas. En el tenis hay partidos entre parejas.

-Un equipo de voleibol está compuesto por 6 jugadores en la cancha.

-El tablero de ajedrez tiene 64 casillas y 2 conjuntos de piezas: las blancas y las negras. El conjunto tiene 16 piezas nombradas así: rey, reina, alfil, caballo y peón, todos los cuales tienen número par de piezas, excepto el rey y la reina que son únicos. De esta forma cada jugador dispone de 2 alfiles, 2 torres, 2 caballos y 8 peones.

Operaciones y propiedades de los números pares

Con los números pares se pueden llevar a cabo todas las operaciones aritméticas conocidas: sumar, restar, multiplicar, dividir, potenciar y más. En resumen, se pueden hacer todas las operaciones permitidas con los números enteros, de los cuales los números pares forman parte.

Sin embargo, los resultados de estas operaciones tienen algunas particularidades. Cosas notables que podemos observar de los resultados son las siguientes:

-Los números pares se presentan intercalados entre los impares, como vimos anteriormente.

-Siempre que sumamos dos o más números pares, el resultado es par. Veamos:

2 + 18 + 44 + 4 = 68

-Pero si sumamos dos números, uno par y otro impar, el resultado es impar. Por ejemplo, 2 + 3 = 5 o 15 + 24 = 39.

-Al multiplicar dos números pares, obtendremos un número par también. Lo mismo sucede si multiplicamos un par o impar. Para verlo hagamos algunas operaciones sencillas como:

Par x par: 28 x 52 = 1456

Impar x par: 12 x 33 = 396

En cambio el producto de dos impares siempre es impar.

-Cualquier número elevado a una potencia par es positivo, sin  importar el signo del número:

2⁴ = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

(-5)² = (-5) x (-5) = 25

(-3)⁴ = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = 81

-Si a es un número tal que a² es par, entonces a es par también. Examinemos los primeros cuadrados a ver si se originan de números pares:

4, 9,16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225…

En efecto se cumple que: 2² = 4 y 2 es par; 16 =4², 36 = 6² y así.

En cambio 25 es el cuadrado de 5, que es impar, 49 es el cuadrado de 7, que también es impar.

-El residuo entre la división de un par y otro par, también es par. Por ejemplo, si dividimos 100 entre 18, el cociente es 5 y el resto o residuo es 10.

Ejercicios resueltos

– Ejercicio 1

Identificar cuáles son números pares y cuáles son impares:

12, 33, 46, 51, 69, 70, 82, 98, 100, 101, 121, 134, 145, 159, 162, 177, 183, 196.

Solución

12, 46, 70, 82, 98, 100, 134, 162, 196.

– Ejercicio 2

Tres números pares consecutivos suman 324. ¿Cuáles son los números?

Solución

Sea un número cualquiera al que llamaremos “n”. Como no sabemos si es par o no, nos aseguramos de que lo sea con el criterio dado al comienzo, el que dice que un número par es de la forma 2n.

El número consecutivo a 2n es 2n+1, pero ese es impar, porque sabemos que están intercalados, entonces volvemos a sumar 1: 2n +2.

Y con esto el tercer número es: 2n + 4.

Ahora que tenemos listos los tres números pares consecutivos los sumamos e igualamos la suma a 324, tal como lo pide el enunciado:

2n + 2n + 2 + 2n + 4 = 324

Sumamos todos los términos “2n”, ya que son semejantes, y también los números a la izquierda de la igualdad:

6n + 6 = 324  → 6n = 318

n = 53

Pero atención, n = 53 no es un número par y no forma parte de los números que nos pide el problema. El enunciado dice que son “tres números pares consecutivos”.

Realmente el primer número que buscamos es:2n = 2 x 53 = 106.

El siguiente es 108 y el tercero es 110.

Si sumamos los tres números vemos que efectivamente se obtiene 324:

106 + 108 + 110 = 324

– Ejercicio 3

Hallar una fórmula para obtener el vigésimo número natural par, comenzando desde 0 y encontrar dicho número, comprobando manualmente.

Solución

Recordando que 0 es el primer número par, luego viene el 2, después el 4 y así intercalados, pensemos en una fórmula que nos permita obtener el 0 a partir de otro número, uno que también sea natural.

Esta fórmula puede ser:

2n – 2, con  n= 1, 2, 3, 4, 5 ….

Con ella obtenemos el 0 haciendo n = 1:

2.1 – 2 = 0

Ahora hagamos n = 2 y obtenemos el par 2

2.2 – 2 = 2

Tomando n = 3 resulta el par 4:

2.3 – 2 = 4

Finalmente haciendo n = 20:

2. 20 – 2 = 40 – 2 = 38

El vigésimo par es el 38 y lo verificamos:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38

¿Puede el lector decir cuál será el centésimo quinto número par mediante la fórmula?

Referencias

1. Baldor, A. 1986. Aritmética. Ediciones y Distribuciones Códice.
2. Math is Fun. Even and odd numbers. Recuperado de mathisfun.com.
3. Taller de Matemáticas. Dualidad par-impar. Recuperado de: ehu.eus.
4. Wikipedia. Paridad del cero. Recuperado de: es.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Parity. Recuperado de: en.wikipedia.org.