Polígono convexo: qué es, elementos, propiedades y ejemplos

Un pentágono convexo, ejemplo de polígono convexo. Fuente: J Hokkanen, CC BY-SA 3.0, Wikimedia Commons

¿Qué es un polígono convexo?

Un polígono convexo es una figura geométrica contenida en un plano que se caracteriza porque dispone de todas sus diagonales en su interior y sus ángulos miden menos de 180º.

También se caracteriza porque consta de n segmentos consecutivos donde el último de los segmentos se une al primero; ninguno de los segmentos se cruzan, de modo tal que delimita el plano en una región interior y otra exterior; todos y cada uno de los ángulos de la región interior son estrictamente menores que un ángulo plano.

Una forma sencilla de determinar si un polígono es convexo o no consiste en considerar la recta que pasa por uno de sus lados, la cual determina dos semiplanos. Si en cada recta que pasa por un lado, los otros lados del polígono están en el mismo semiplano, se trata entonces de un polígono convexo.

Elementos de un polígono

Todo polígono consta de los siguientes elementos:

Lados. Son cada uno de los segmentos consecutivos que conforman el polígono. En un polígono ninguno de los segmentos que lo conforman puede tener un extremo abierto, en ese caso se tendría una línea poligonal pero no un polígono.
Vértices. Son los puntos de unión de dos segmentos consecutivos. En un polígono, el número de vértices siempre iguala al número de lados.

Si dos lados o segmentos de un polígono se cruzan, entonces se tiene un polígono cruzado. El punto de cruce no se considera un vértice. Un polígono cruzado es un polígono no-convexo. Los polígonos estrellados son polígonos cruzados y, por tanto, no son convexos.

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Cuando un polígono tiene todos sus lados de la misma longitud, se tiene entonces un polígono regular. Todos los polígonos regulares son convexos.

Propiedades de un polígono convexo

1. Un polígono no-cruzado, o polígono simple, divide el plano que lo contiene en dos regiones, la región interior y la región exterior, siendo el polígono la frontera entre las dos.

Pero si adicionalmente el polígono es convexo, entonces se tiene una región interior que es simplemente conexa, lo que significa que tomando dos puntos cualesquiera de la región interior, siempre puede unirse por un segmento que pertenece en su totalidad a la región interior.

Figura 2. Un polígono convexo es simplemente conexo, mientras uno cóncavo no lo es. Fuente: elaborado por Ricardo Pérez

2. Todo ángulo interior de un polígono convexo es menor que un ángulo plano (180º).

3. Todos los puntos interiores de un polígono convexo siempre pertenecen a uno de los semiplanos definidos por la recta que pasa por dos vértices consecutivos.

4. En un polígono convexo todas las diagonales están totalmente contenidas en la región poligonal interior.

5. Los puntos interiores de un polígono convexo pertenecen en su totalidad al sector angular convexo definido por cada ángulo interior.

6. Todo polígono en el que todos sus vértices están sobre una circunferencia es un polígono convexo, el cual se denomina polígono cíclico.

7. Todo polígono cíclico es convexo, pero no todo polígono convexo es cíclico.

8. Todo polígono no-cruzado (polígono simple) que tenga todos sus lados de igual longitud es convexo, y se le conoce como polígono regular.

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Diagonales y ángulos en polígonos convexos

9. El número total N de diagonales de un polígono convexo de n lados está dado por la siguiente fórmula:

N = ½ n ( n – 3 )

Demostración: En un polígono convexo de n lados de cada vértice se trazan n – 3 diagonales, puesto que quedan excluidos el propio vértice y los dos adyacentes. Como hay n vértices se trazan en total n (n – 2) diagonales, pero cada diagonal fue trazada dos veces, por lo que el número de diagonales (sin repetición) es n(n-2)/2.

10. La suma S de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados está dada por la siguiente relación:

S = ( n – 2 ) 180º

Demostración: De un vértice se trazan n-3 diagonales que definen n-2 triángulos. La suma de los ángulos internos de cada triángulo es 180º. La suma total de los ángulos de los n-2 triángulos es (n-2)*180º, la cual coincide con la suma de los ángulos internos del polígono.

Ejemplos de un polígono convexo

Ejemplo 1

Hexágono cíclico, es un polígono de seis lados y seis vértices, pero todos los vértices están sobre la misma circunferencia. Todo polígono cíclico es convexo.