¿Qué son las permutaciones sin repetición?
Las permutaciones sin repetición son las maneras de organizar u ordenar un conjunto de diferentes elementos, sin repetir ninguno, variando únicamente el orden de colocación de los elementos.
Para formar una permutación sin repetición de n elementos se debe construir grupos de n elementos sin que se repitan. Por ejemplo: suponga que se desea conocer el número de permutaciones o números de cuatro cifras distintos que se pueden formar con los dígitos del número 2468.
Para averiguar el número de permutaciones sin repetición se utiliza la siguiente fórmula:
Pn = n!
La cual expandida sería Pn = n! = n(n – 1)(n – 2)…(2)(1).
Por lo que en el ejemplo práctico anterior se aplicaría de la siguiente manera:
P4 = 4*3*2*1 = 24 números distintos de 4 dígitos.
Siendo estos los 24 arreglos en total: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.
Como se puede observar, no hay repetición en ningún caso, siendo 24 números distintos.
Demostración y fórmulas de las permutaciones sin repetición
24 arreglos de 4 cifras diferentes
Vamos a analizar más concretamente el ejemplo de los 24 arreglos diferentes de 4 cifras que se pueden formar con los dígitos del número 2468. La cantidad de arreglos (24) se puede conocer de la siguiente forma:
Se tienen 4 opciones para seleccionar el primer dígito, eso deja 3 opciones para seleccionar el segundo. Ya se fijaron dos dígitos, quedan 2 opciones para seleccionar el tercer dígito. El último dígito solo tiene una opción de selección.
Por lo tanto, el número de permutaciones, denotado por P4, se obtiene por el producto de las opciones de selección en cada posición:
P4 = 4*3*2*1 = 24 números distintos de 4 dígitos
En general, el número de permutaciones o arreglos distintos que se pueden realizar con todos los n elementos de un conjunto dado es:
Pn = n! = n(n – 1)(n – 2)…(2)(1)
La expresión n! se conoce como n factorial, y significa el producto de todos los números naturales que se encuentran entre el número n y el número uno, incluidos ambos.
12 arreglos de 2 cifras diferentes
Ahora suponga que se desea conocer el número de permutaciones o números de dos cifras distintos que se pueden formar con los dígitos del número 2468.
Estos serían 12 arreglos en total: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86
Se tienen 4 opciones para seleccionar el primer dígito, eso deja 3 dígitos para seleccionar el segundo. Por lo tanto, el número de permutaciones de los 4 dígitos tomados de dos en dos, denotado por 4P2, se obtiene por el producto de las opciones de selección en cada posición:
4P2 = 4*3 = 12 números distintos de 2 dígitos
En general, el número de permutaciones o arreglos distintos que se pueden realizar con r elementos de los n en total en un conjunto dado es:
nPr = n(n – 1)(n – 2)…[n – (r – 1)]
La expresión anterior se trunca antes de reproducir n! Para completar n! a partir de ella deberíamos escribir:
n! = n(n – 1)(n – 2)…[n – (r – 1)](n – r)…(2)(1)
Los factores que agregamos, a su vez, representan un factorial:
(n – r)…(2)(1) = (n – r)!
Por lo tanto:
n! = n(n – 1)(n – 2)…[n – (r – 1)](n – r)…(2)(1) = n(n – 1)(n – 2)…[n – (r – 1)](n – r)!
De aquí:
n!/(n – r)! = n(n – 1)(n – 2)…[n – (r – 1)] = nPr
Ejemplos de permutaciones sin repetición
Ejemplo 1
¿Cuántas combinaciones de letras distintas de 5 letras se pueden construir con las letras de la palabra CLAVE?
Se quiere hallar el número de combinaciones de letras distintas de 5 letras que se pueden construir con las letras de la palabra CLAVE; es decir, el número de arreglos de 5 letras que involucran todas las letras disponibles en la palabra CLAVE.
N° de palabras de 5 letras = P5 = 5! = 5*4*3*2*1 = 120 combinaciones de letras distintas de 5 letras.
Estas serían: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLA… hasta 120 combinaciones de letras distintas en total.
Ejemplo 2
Se tienen 15 bolas numeradas y se desea conocer cuántos grupos distintos de 3 bolas se pueden construir con las 15 bolas numeradas.
Se quiere hallar el número de grupos de 3 bolas que se pueden confeccionar con las 15 bolas numeradas.
N° de grupos de 3 bolas = 15P3 = 15!/(15 – 3)!
N° de grupos de 3 bolas = 15*14*13 = 2.730 grupos de 3 bolas.
Ejercicios resueltos
Ejercicio 1
Una tienda de frutas tiene un stand de exhibición que consiste en una fila de compartimientos ubicados en el pasillo de entrada al local. En un día, la frutería adquiere para la venta naranjas, bananas, piñas, peras y manzanas.
a) ¿Cuántas formas distintas tiene para ordenar el stand de exhibición?
b) ¿Cuántas formas distintas tiene para ordenar el stand si además de las frutas mencionadas (5), recibió ese día mangos, duraznos, fresas y uvas (4)?
a) Se quiere hallar el número de formas distintas de ordenar en la fila de exhibición todas las frutas; es decir, el número de arreglos de 5 rubros frutícolas que involucran todas las frutas disponibles para la venta en ese día.
N° de arreglos del stand = P5 = 5! = 5*4*3*2*1
N° de arreglos del stand = 120 formas de presentar el stand
b) Se quiere hallar el número de formas distintas de ordenar en la fila de exhibición todas las frutas si se agregaron 4 rubros adicionales; es decir, el número de arreglos de 9 rubros frutícolas que involucran todas las frutas disponibles para la venta en ese día.
N° de arreglos del stand = P9 = 9! = 9*8*7*6*5*4*3*2*1
N° de arreglos del stand = 362.880 formas de presentar el stand
Ejercicio 2
Un pequeño local de venta de comida dispone de un lote de terreno con espacio suficiente para estacionar 6 vehículos.
a) ¿Cuántas formas distintas de ordenamiento de los vehículos en el lote de terreno se pueden seleccionar?
b) Supóngase que se adquiere un lote de terreno contiguo cuyas dimensiones permiten que se puedan estacionar 10 vehículos, ¿Cuántas formas distintas de ordenamiento de los vehículos se pueden seleccionar ahora?
a) Se quiere hallar el número de formas distintas de ordenar en el lote de terreno los 6 vehículos que se pueden albergar.
N° de arreglos de los 6 vehículos = P6 = 6! =6*5*4*3*2*1
N° de arreglos de los 6 vehículos = 720 formas distintas de ordenar los 6 vehículos en el lote de terreno.
b) Se quiere hallar el número de formas distintas de ordenar en el lote de terreno los 10 vehículos que se pueden albergar después de la ampliación del lote de terreno.
N° de arreglos de los 10 vehículos = P10 = 10!
N° de arreglos de los vehículos = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1
N° de arreglos de los 10 vehículos = 3.628.800 formas distintas de ordenar los 10 vehículos en el lote de terreno.
Ejercicio 3
Una floristería dispone de flores de 6 colores distintos para elaborar banderas florales de naciones que tengan solo 3 colores. Si se sabe que el orden de los colores es importante en las banderas:
a) ¿Cuántas banderas distintas de 3 colores se pueden elaborar con los 6 colores disponibles?
b) El vendedor adquiere flores de 2 colores adicionales a los 6 que ya tenía. Ahora, cuántas banderas distintas de 3 colores se pueden elaborar.
c) Ya que dispone de 8 colores decide ampliar su oferta de banderas, ¿Cuántas banderas distintas de 4 colores puede elaborar?
d) ¿Cuántas de 2 colores?
a) Se quiere hallar la cantidad de banderas distintas de 3 colores que se pueden elaborar seleccionando de los 6 colores disponibles.
N° de banderas de 3 colores = 6P3 = 6!/(6 – 3)!
N° de banderas de 3 colores = 6*5*4 = 120 banderas
b) Se desea hallar la cantidad de banderas distintas de 3 colores que se pueden elaborar seleccionando de los 8 colores disponibles.
N° de banderas de 3 colores = 8P3 = 8!/(8 – 3)!
N° de banderas de 3 colores = 8*7*6 = 336 banderas
c) Se debe calcular la cantidad de banderas distintas de 4 colores que se pueden elaborar seleccionando de los 8 colores disponibles.
N° de banderas de 4 colores = 8P4 = 8!/(8 – 4)!
N° de banderas de 4 colores = 8*7*6*5 = 1.680 banderas
d) Se desea determinar la cantidad de banderas distintas de 2 colores que se pueden elaborar seleccionando de los 8 colores disponibles.
N° de banderas de 2 colores = 8P2 = 8!/(8 – 2)!
N° de banderas de 2 colores = 8*7 = 56 banderas
Referencias
- Boada, A. Uso de la permutación con repetición como enseñanza de experimentos. Revista Vivat Academia. Recuperado de researchgate.net.
- Canavos, G. Probabilidad y Estadística. Aplicaciones y métodos. McGraw Hill.
- Spiegel, M., Stephens, L. Estadística. Cuarta ed. McGraw Hill.
- Walpole, R., Myers, R., Myers, S., Ye, K. Probability & Statistics for engineers & scientists. Eighth ed. Pearson Education Internacional Prentice Hall.
- Permutation. Recuperado de en.wikipedia.org.