Eventos complementarios

¿Qué son los eventos complementarios?

Los eventos complementarios son los resultados opuestos a un evento determinado en un experimento aleatorio. En otras palabras, dos eventos son complementarios si uno es el resultado opuesto al otro. Por ejemplo, llueve o no llueve, hace frío o hace calor. 

Su intersección da como resultado el conjunto vacío (∅). La suma de las probabilidades de dos eventos complementarios es igual a 1. Es decir, que dos eventos con esta característica, abarcan por completo la posibilidad de sucesos de un experimento.

¿En qué consisten los eventos complementarios?

Un caso genérico muy útil para comprender este tipo de eventos es lanzar un dado:

Al definir el espacio muestral se nombran todos los posibles casos que el experimento ofrece. A este conjunto se le conoce como universo.

Espacio muestral (S):

S : { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

 Las opciones no estipuladas en el espacio muestral, no forman parte de las posibilidades del experimento. Por ejemplo, {que salga el número siete} tiene una probabilidad de cero.

Según el objetivo de la experimentación, se definen conjuntos y subconjuntos de ser necesario. La notación de conjunto a utilizar también se determina según el objetivo o parámetro a estudiar:

A : {Salga un número par} = { 2, 4, 6 }

B : {Salga un número impar} = { 1, 3, 5 }

En este caso, A y B son eventos complementarios, debido a que ambos conjuntos son mutuamente excluyentes (no puede salir un número par que sea impar a su vez) y la unión de dichos conjuntos abarca la totalidad del espacio muestral.

Otros subconjuntos posibles en el ejemplo anterior son:

C : {Salga un número primo} = { 2, 3, 5 }

D :  { x / x  Ԑ  N  ᴧ  x ˃ 3 }  = { 4, 5, 6 }

Los conjuntos A, B y C están escritos en notación descriptiva y analítica, respectivamente. Para el conjunto D se utilizó notación algebraica, describiéndose luego los posibles resultados correspondientes al experimento en notación analítica.

Se observa en el primer ejemplo que al ser A y B eventos complementarios

A : {Salga un número par} = { 2, 4, 6 }

B : {Salga un número impar} = { 1, 3, 5 }

Se cumplen los siguientes axiomas:

• A U B = S: La unión de dos eventos complementarios es igual al espacio muestral.
• A ∩B = ∅: La intersección de dos eventos complementarios es igual al conjunto vacío.
• A’ = B ᴧ B’ = A: Cada subconjunto es igual al complemento de su homólogo.
• A’ ∩ A = B’ ∩ B = ∅: Intersectar un conjunto con su complemento es igual a vacío.
• A’ U A = B’ U B = S: Unir un conjunto con su complemento es igual al espacio muestral.

En la estadística y estudios probabilísticos, los eventos complementarios forman parte de la teoría de conjunto, siendo muy comunes entre las operaciones que en esta área se realizan.

Para conocer más a fondo los eventos complementarios, es necesario entender ciertos términos que ayudan a definirlos conceptualmente.

¿Qué son los eventos?

Son posibilidades y sucesos resultantes de una experimentación, capaces de ofrecer resultados en cada una de sus iteraciones. Los eventos generan los datos a registrar como elementos de conjuntos y subconjuntos, las tendencias en estos datos son motivo de estudio para la probabilidad.

¿Qué es un complemento?

Con respecto a la teoría de conjuntos, un complemento se refiere a la porción de espacio muestral que necesita adicionarse a un conjunto para que este abarque su universo. Es todo lo que no forma parte del conjunto.

Una forma muy conocida para denotar al complemento en la teoría de conjuntos es:

A’         Complemento de A

Diagrama de Venn

Es un esquema gráfico-analítico de contenido, muy utilizado en las operaciones matemáticas que involucran conjuntos, subconjuntos y elementos. Cada conjunto es representado por una letra mayúscula y una figura ovalada (esta característica no es obligatoria dentro de su uso) que contiene a todos y cada uno de sus elementos.

Los eventos complementarios se aprecian directamente en los diagramas de Venn, ya que su método gráfico permite identificar los complementos correspondientes a cada conjunto.

Simplemente, visualizar por completo el entorno de un conjunto, omitiendo su frontera y estructura interna, permite dar una definición al complemento del conjunto estudiado.

Ejemplos de eventos complementarios

• Cara y cruz en el lanzamiento de una moneda: al lanzar una moneda al aire, los eventos “obtener cara” y “obtener cruz” son complementarios. No se puede obtener ambos resultados al mismo tiempo.
• Sacar una carta roja o una carta negra de una baraja estándar: si se toma una carta al azar de un juego de naipes estándar (52 cartas), los eventos “sacar una carta roja” y “sacar una carta negra” son complementarios, ya que una carta no puede ser roja y negra al mismo tiempo.
• Sacar un número par o un número impar de un dado: al lanzar un dado de seis caras, los eventos “obtener un número par” y “obtener un número impar” son complementarios.
• Un evento ocurriendo o no ocurriendo: por ejemplo, “llover mañana”. Los eventos “llover mañana” y “no llover mañana” son complementarios, ya que no pueden ocurrir ambos resultados al mismo tiempo en el mismo lugar.
• Extraer una bola blanca o una bola negra de una urna: si se tiene una urna con bolas blancas y negras, los eventos “extraer una bola blanca” y “extraer una bola negra” son complementarios. Cuando se extrae una bola, solo puede ser de uno de los dos colores, no de ambos.

Ejercicios de eventos complementarios

Ejercicio 1

Sea S el conjunto universo definido por todos los números naturales menores o iguales a diez.

S : { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

Se definen los siguientes subconjuntos de S

H : { Números naturales menores a cuatro } = { 0, 1, 2, 3 }

J : { Múltiplos de tres } = { 3, 6, 9 }

K : { Múltiplos de cinco } = { 5 }

L :  { 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10 }

       M : { 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10 }

       N : {Números naturales mayores o iguales a cuatro} = { 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

Determinar:

¿Cuántos eventos complementarios se pueden formar al relacionar pares de subconjuntos de S?

Según la definición de eventos complementarios se identifican los pares que cumplen los requerimientos (mutuamente excluyentes y cubrir el espacio muestral al unirse). Son eventos complementarios los siguientes pares de subconjuntos:

• H y N
• J y M
• L y K

Ejercicio 2

Demostrar que: ( M ∩ K )’ = L

{ 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10 } ∩ { 5 } = { 5 }. La intersección entre conjuntos arroja como resultado los elementos comunes entre ambos conjuntos operantes. De esta manera, el 5 es el único elemento común entre M y K.

{ 5 }’ = { 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10 } = L, debido a que L y K son complementarios, se cumple el tercer axioma descrito anteriormente (Cada subconjunto es igual al complemento de su homólogo).

Ejercicio 3

Defina : [ ( J ∩ H ) U N ]’

J ∩ H = { 3 }. De manera homóloga al primer paso del ejercicio anterior.

( J ∩ H ) U N = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }. Estas operaciones se conocen como combinadas y suelen tratarse con un diagrama de Venn.

[ ( J ∩ H ) U N ]’ = { 0, 1, 2 }. Queda definido el complemento de la operación combinada.

Ejercicio 4

Demostrar que: { [ H U N ] ∩ [ J U M ] ∩ [ L U K ] }’ = ∅

La operación compuesta descrita dentro de las llaves, se refiere a las intersecciones entre las uniones de los eventos complementarios. De esta forma se procede a verificar el primer axioma (La unión de dos eventos complementarios es igual al espacio muestral).

[ H U N ] ∩ [ J U M ] ∩ [ L U K ] = S ∩ S ∩ S = S: La unión e intersección de un conjunto consigo mismo genera el mismo conjunto.

Luego;    S’ = ∅    Por definición de conjuntos.

Ejercicio 5

Defina 4 intersecciones entre los subconjuntos, cuyos resultados sean diferentes al conjunto vacío (∅).

• M ∩ N

{ 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10 } ∩ { 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } = { 4, 5, 7, 8, 10 }

• L ∩ H

{ 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10 } ∩ { 0, 1, 2, 3 } = { 0, 1, 2, 3 }

• J ∩ N

{ 3, 6, 9 } ∩ { 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } = { 6, 9 }

Referencias

1. THE ROLE OF STATISTICAL METHODS IN COMPUTER SCIENCE AND BIOINFORMATICS. Recuperado de irina.arhipova.com.
2. Colin G.G. Statistics and the Evaluation of Evidence for Forensic Scientists. Second Edition. The University of Edinburgh.
3. Robert B. Ash. BASIC PROBABILITY THEORY, Department of Mathematics. University of Illinois
4. Mario F. Triola. Elementary STATISTICS. Tenth Edition. Boston San.