¿Qué es un binomio al cuadrado?
En álgebra elemental un binomio es la suma o la resta de dos monomios, cuya forma es (a ± b), donde a es el primer término y b el segundo. El símbolo ±, que se lee “más menos”, denota de manera compacta a la suma y a la resta de dichos términos.
Entonces, el binomio al cuadrado se escribe de la forma (a ± b)2, para representar la multiplicación del binomio consigo mismo. Dicha operación se realiza fácilmente con la ayuda de la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición.
De esta forma se obtiene un resultado que es conveniente memorizar, ya que el desarrollo de un binomio al cuadrado aparece en muchas aplicaciones del álgebra, él cálculo y las ciencias en general.
Explicación
El desarrollo del binomio al cuadrado se lleva a cabo con ayuda de la ya mencionada propiedad distributiva. De esta forma se obtiene:
(a ± b)2 = (a ± b)× (a ± b) = a2 ± a⋅b ± b⋅a + b2 = a2 ± 2a⋅b + b2
El resultado, que siempre tiene tres términos y se conoce con el nombre de producto notable, se lee de esta manera:
Cuadrado del primer término, más/menos el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.
La definición es aplicable a cualquier binomio, sin importar la forma de sus términos.
Cuadrado de la suma y de la diferencia
El cuadrado de una suma es:
(a + b)2 = (a + b) × (a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2
Mientras que el cuadrado de la diferencia es:
(a − b)2 = (a − b) × (a − b) = a2 − ab − ba + b2 = a2 − 2ab + b2
Adviértase que la diferencia entre ambos desarrollos radica en el signo que se antepone al término cruzado.
Ejemplos
Ejemplo 1
Al desarrollar el cuadrado del binomio (x + 5)2, se obtiene, empleando el resultado obtenido en la sección anterior:
(x + 5)2 = x2 + 2x∙5 + 52 = x2 + 10x + 25
Ejemplo 2
Para hallar el desarrollo del binomio al cuadrado (2x − 3)2, se procede de manera análoga:
(2x − 3)2 = (2x)2 − 2∙2x∙3 + 32 = 4x2 − 12x + 9
Ejemplo 3
No siempre el término que contiene letra va en primer en lugar. Por ejemplo, elevando al cuadrado el binomio (12 − 7x), se obtiene:
(12 − 7x)2 = 122 − 2∙12∙7x + (7x)2 = 144 − 168x + 49x2
Ejercicios
Desarrollar los siguientes binomios al cuadrado:
a) (3xy − 1)2
b) (2z + 5y)2
c) [(x+y) – 6]2
Solución a
(3xy − 1)2 = (3xy)2 − 2∙3xy∙1 + 12 = 9x2y2 − 6xy + 1
Solución b
(2z + 5y)2 = (2z)2 + 2∙2z∙5y + (5y)2 = 4z2 + 20zy + 25y2
Solución c
[(x+y) – 6]2 = (x+y)2 − 2∙(x+y)∙6 +62 = (x+y)2 − 12∙(x+y) + 36
El primer término del trinomio se puede desarrollar a su vez:
(x+y)2 = x2 + 2x∙y + y2
Y sustituirse en el resultado previo:
[(x+y) – 6]2 = (x+y)2 − 12∙(x+y) + 36 = x2 + 2x∙y + y2 − 12∙(x+y) + 36
Trinomio cuadrado perfecto
El resultado de desarrollar un binomio al cuadrado contiene tres términos, según: (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2. Por eso se llama trinomio (tres monomios) y además es perfecto, puesto que se obtiene al elevar al cuadrado un binomio.
Identificar un trinomio cuadrado perfecto, y hallar el correspondiente binomio que le da origen, es el objetivo de la factorización.
Por ejemplo, el trinomio x2 + 14x + 49 es un trinomio cuadrado perfecto, ya que:
x2 + 14x + 49 = (x + 7)2
El lector lo puede comprobar fácilmente, desarrollando el cuadrado del binomio (x + 7)2 de acuerdo a las fórmulas anteriores:
(x + 7)2 = x2 + 2x∙7 + 72 = x2 + 14x + 49