¿Qué es un experimento aleatorio?
Un experimento aleatorio es el experimento en el que el resultado de cada ensayo particular es impredecible, aun cuando se pueda establecer la probabilidad de ocurrencia de un determinado resultado.
Sin embargo, habría que aclarar que no es posible reproducir el mismo resultado de un sistema aleatorio con los mismos parámetros y condiciones iniciales en cada ensayo del experimento.
Un buen ejemplo de un experimento aleatorio es el lanzamiento de un dado. Aun cuando se tenga el cuidado de lanzar el dado de la misma manera, en cada intento se obtendrá un resultado impredecible. Realmente, lo único que puede afirmarse es que el resultado puede ser alguno de los siguientes: 1, 2, 3, 4, 5 o 6.
El lanzamiento de una moneda, es otro ejemplo de experimento aleatorio con solo dos resultados posibles: cara o sello. Aunque la moneda se lance desde la misma altura y de la misma manera, siempre el factor azar estará presente, lo que resulta en incertidumbre a cada nuevo intento.
Lo contrario de un experimento aleatorio es un experimento determinista. Por ejemplo, se sabe que cada vez que se hierve agua a nivel del mar, la temperatura de ebullición es 100 °C. Pero nunca ocurre que, manteniendo las mismas condiciones, el resultado sea a veces 90 °C, otras, 0 °C y a veces 100 °C.
Espacio muestral de un experimento aleatorio
El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se denomina espacio muestral. En el experimento aleatorio del lanzamiento de un dado, el espacio muestral es:
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Por su parte, en el lanzamiento de una moneda, el espacio muestral es:
M = {cara, sello}.
Evento o suceso
En un experimento aleatorio, un evento es la ocurrencia o no de cierto resultado. Por ejemplo, en el caso del lanzamiento de una moneda, un evento o suceso es que salga cara.
Otro evento en un experimento aleatorio podría ser el siguiente: que en el lanzamiento de un dado salga un número menor o igual que tres.
En caso de que se dé el evento, entonces el conjunto de resultados posibles es el conjunto:
E = {1, 2, 3}
A su vez, este es un subconjunto del espacio o conjunto muestral:
M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Ejemplos
A continuación se presentan algunos ejemplos que ilustran lo antes dicho:
Ejemplo 1
Suponga que se lanzan dos monedas, una a continuación de la otra. Se pide:
a) Indicar si se trata de un experimento aleatorio o, por el contrario, un experimento determinista.
b) ¿Cuál es el espacio muestral S de este experimento?
c) Indique el conjunto del evento A, correspondiente a que el experimento tenga como resultado cara y sello.
d) Calcule la probabilidad que se dé el evento A.
e) Finalmente, halle la probabilidad que se dé el evento B: no aparecer cara en el resultado.
Solución
a) Se trata de un experimento aleatorio porque no hay forma de predecir cuál será el resultado de un lanzamiento de las dos monedas.
b) El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles:
S = { (c, c), (c, s), (s, c), (s, s) }
c) El evento A, en el caso de que se dé, puede tener los siguientes resultados:
A = { (c, s), (s, c) }
d) La probabilidad de que se dé el evento A, se obtiene de dividir el número de elementos del conjunto A entre el número de elementos del conjunto S correspondiente al espacio muestral:
P(A) = 2/4 = ½ = 0.5 = 50%
e) El conjunto de resultados posibles correspondientes al evento B (no aparecer cara en el resultado) es:
B = { (s,s) }
Por lo que la probabilidad de que se dé el evento B en un ensayo es el cociente entre el número de resultados posibles de B entre el número de casos totales:
P(B) = ¼ = 0.25 = 25%.
Ejemplo 2
Una bolsa contiene 10 canicas blancas y 10 canicas negras. De la bolsa se sacan al azar y sin mirar adentro tres canicas consecutivamente.
a) Determine el espacio muestral de este experimento aleatorio.
b) Determine el conjunto de resultados correspondiente al evento A que consiste en que después del experimento se tengan dos canicas negras.
c) El evento B es obtener al menos dos canicas negras, determine el conjunto B de resultados para este suceso.
d) ¿Cuál es la probabilidad de que se dé el evento A?
e) Halle la probabilidad de que se dé el evento B.
f) Determine la probabilidad de que el resultado del experimento aleatorio sea que se tenga al menos una canica negra. A este evento se le denominará C.
Solución a
Para construir el espacio muestral, es útil confeccionar un diagrama de árbol, como el que se muestra en la siguiente imagen:
El conjunto Ω de posibles resultados de extraer tres canicas de una bolsa con igual número de canicas blancas y negras, es precisamente el espacio muestral de este experimento aleatorio.
Ω = { (b, b, b), (b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n) }
Solución b
El conjunto de posibles resultados correspondiente al evento A, que consiste en tener dos canicas negras, es:
A = { (b, n, n), (n, b, n), (n, n, b) }
Solución c
El suceso B se define como: “tener al menos dos canicas negras después de haber hecho la extracción al azar de tres de ellas”. El conjunto de resultados posibles para el evento B es:
B = { (b, n, n), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n) }
Solución d
La probabilidad de tener el evento A es el cociente entre el número de resultados posibles para este evento, y el número total de posibles resultados, es decir, el número de elementos del espacio muestral.
P(A) = n(A) / n(Ω) = 3 / 8 = 0.375 = 37.5%
Entonces, hay 37.5% de probabilidad de tener dos canicas negras después de extraer al azar tres canicas de la bolsa. Pero obsérvese que de ninguna manera podemos predecir el resultado exacto del experimento.
Solución e
La probabilidad de que se dé el evento B, consistente en que se obtenga al menos una canica negra, es:
P(B) = n(B) / n(Ω) = 4 /8 = 0.5 = 50%
Esto significa que la posibilidad que se dé el evento B, es igual a la probabilidad de que no se dé.
Solución f
La probabilidad de obtener al menos una canica negra, después de extraer tres de ellas, es igual a 1 menos la probabilidad de que el resultado sea “las tres canicas blancas”.
P(C) = 1 – P(b b b) = 1 – ⅛ = ⅞ = 0.875 = 87.5%
Ahora, podemos comprobar este resultado, notando que el número de posibilidades de que se dé el evento C es igual al número de elementos de los posibles resultados para el evento C:
C = { (b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n) }
n(C) = 7
P(C) = n(C) / n(Ω) = ⅞ = 87.5%
Referencias
- Experimento aleatorio. Recuperado de canalphi.youtube.com.
- Ross. Probabilidad y estadística para ingenieros. McGraw Hill.
- Experiment (probability theory). Recuperado de en.wikipedia.org.
- Suceso determinista. Recuperado de es.wikipedia.org.
- Experimento aleatorio. Recuperado de es.wikipedia.org.